2018.04.23 小二乘法考卷掀波瀾!

最近幾日網路上為了這題小二乘法,討論得沸沸騰騰!(請見下面網址)

http://m.ltn.com.tw/news/life/breakingnews/2402304

 

2018-04-23_094616

這題目若不好好審題,確實會認為答案是 8 × 5 = 40 (顆),

我覺得那是答題者沒有好的審題習慣,所以沒有什麼可以爭議的!

 

但若回到題目和訂正後答案的本身,

我心中就出現不少問號了。

 

問號1:

此題看來是要檢視有關0的乘法,

問題是此題需要用乘法嗎?

若真的有好好審題,這題根本不用計算,

直接寫0顆就對了啊!

 

問號2:

國小數學為生活數學,

因此布題要盡量與生活情境相結合。

不要說0的乘法在生活中沒有應用的必要性,

這題目的題意是脫離生活的,

就難怪會惹人爭議了!

 

問號3:

學生的訂正寫成 0(顆)  × 5 (包) = 0 (顆)

乘數為倍數,不該有單位才是。

(請見 http://163.19.142.4/wordpress/?p=2009 )

 

我個人認為0的乘法是有必要理解的,

但那應該奠基在對乘法意義的理解上,

來了解0乘以任何數都必為0的原因。

若真的想成為考題的話,

建議可以選擇或填充題來檢視學生的乘法概念是否正確即可!

例如:

(   3    ) 下面哪一個不是  0  × 5  這個算式想表達的數學想法?

(1) 0+0+0+0+0=5  (2) 0有5個   (3) 5有0個  (4) 答案是0

 

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2018.03.29三年級~"小數"的啟蒙階段

在小學的學習安排上,是先學分數後,再學小數的概念。

因此在定義一位小數時,課本就會同時和分數概念連結(如下),

 

2018-03-29_112656(康軒三下)

 

然後利用古氏積木來認識十分位(如下)

 

2018-03-29_113105

 

這樣教是沒問題的,

但孩子們容易會習慣先思考分數是多少,然後再轉換成小數。

 

因此,我們的教學策略會做些改變。

先用孩子們熟悉的古氏積木來確認稱呼的名詞,

也就是"塊、片、條、個",

20180329_113728[1]

 

然後直接定義0.1是什麼,

將1個1平分成十等份,

其中的1等份就叫0.1。

然後開始逐層找出不同單位量的0.1在哪裡,

20180329_113859

 

清楚的讓孩子們理解,0.1是小於1的數,

可是那並不代表0.1的數值很小,

要看它是誰的0.1,

舉例來說,0.1塊和0.1條就差很多,不是嗎?

也就是說,任何數量只要平分成10等份,

其中的1份就是0.1。

當然,此時也是好時機,

引導孩子們去察覺小數在生活中存在於哪些地方

(如:身高、體重、溫度等),

以身高為例,當一個孩子說他身高是131.2公分時,

他們就會更能理解這數字的意義。

 

接下來,

再介紹十分位的名稱及它與個位之間的十進位關係,

就會是件很容易理解的事。

至於,何時教0.1等於1/10呢?

其實,根本不用教,孩子們只要分數概念穩固,

很快就會在課程進行中,自行發現0.1等於1/10的道理了。

 

今日是"小數的大小比較"的第一堂課,

布題如下:

20180329_091905

當然,只要之前的小數學習穩固,

全班很快就寫出

3>2.7

答: 甲班

 

但我更想知道,他們是如何判斷出 3>2.7   ,

判斷的方法是具有可行性,還是根本是瞎貓碰到死耗子呢?

 

因此,讓孩子們進行小組討論,

思考有多少種方法可以判斷出  3>2.7 ,

然後再進行全班討論來檢驗方法的可行性。

20180329_09205020180329_092126

下面是在全班討論後,

被大家認同的內容,

策略1:

20180329_093706

策略2:

20180329_093618

 

策略3:

20180329_093529

20180329_093456

策略4:

20180329_093412

 

最後,我們便要討論出這四種策略的效度如何?

策略1和策略3獲得大多數人的支持,

但何時他們會發現策略3(利用位值概念)是更有效的判斷方法呢?

那只能靜待明天的上課了!

 

 

 

 

 

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2018.03.21三年級~分數(從部分-整體走向單位分數)

在三上時,孩子們學到了分數的意義,

平分1個整體成若干等份,然後用分數來表示指定等份,

這就是藉由「部分-整體」之間的關係來學習分數的概念(如下)。

 

2018-03-22_101604(康軒,三上)

 

而到了三下,分數的學習重點就會是"能理解分數是由幾個單位分數合成的結果“。

2018-03-22_103755(康軒,三下)

 

由於三年級的分數學習僅止於真分數,

唯一的假分數,只是如4/4這般的分數。

所以對孩子們來說,"單位分數"的需求不是很高,

即使不懂單位分數,使用"部分-整體"的概念,

一樣可以理解"分數大小比較"及"分數加減"。

 

因此,在此學習階段導入"單位分數"的概念,

實際上,是為了之後的假分數及帶分數的學習做墊步。

不然,等到學到假分數5/4時,

解釋成把1個1平分成4份,拿了其中的5份,

不是挺令人匪夷所思的,也無法進行加減了。

 

所以在這個學習階段,

即使孩子們沒有使用單位分數的需求,

也需要反覆在解題及討論中,

去加深他們對單位分數的概念。

2018-03-22_103724(康軒,三下)

圖中女生的說法是屬於"部分-整體",而男生的說法是屬於"單位分數"的概念。

 

 

今日的布題如下:

一盒巧克力有8顆。哥哥吃了3/8盒後,

這盒巧克力還剩下幾盒?

 

課本的數學表徵如下:

2018-03-21_131027

 

而本班在上課解題所出現的表徵則是:

20180321_093242

20180321_093216

 

這兩種表徵全班都很快就達成共識,

可是並無人使用如課本的表徵,

可能是因為布題時是直接寫在白板上,

並沒有使用課本,

所以他們是踩在之前的舊經驗來寫表徵,

並沒有受到課本解說文字的影響,

可以讓老師清楚觀察到他們建構知識的脈絡。

 

但這樣的表徵還是有必要學習的,

因此便由老師直接寫出表徵,

問孩子們是否同意。

 

有趣的是,

他們一看到 “1-3/8 “,

立刻開始表示不同意,

覺得是錯的。

待回到題目,

在算式中加上單位後 “1盒 – 3/8盒 "

他們開始冷靜下來思考,

看一下之前的表徵

20180321_093242

再回到題目引導他們寫出  8顆 = 1盒 = 8/8盒,

然後再看

2018-03-22_110049

終於,他們察覺到自己之前的迷思,

還發現這樣的表徵更清楚簡單。

 

其實,不同的孩子理解知識的途徑都會不同;

不同的老師引導路徑也是不同。

 

但如果老師本身清楚教學內容的重點及理解自己學生的學習特性,

那麼條條大路通羅馬,

在學習的路途上,

師生都會欣賞到不同的學習風景呢!

 

 

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2018.03.12三年級~時間與時刻有什麼差別呢?

在國小數學教材中,會將時間與時刻界定如下:

時間: 指的是"經過的時間",口語上會說"1小時30分鐘"、"5分鐘(或5分)"。

時刻: 指的是"一個時間點",口語上會說"上午9時30分"、"下午1時20分"(12時制)、14時50分(24時制)。

 

因此我們在進行時間的加減計算前,

建議在時間數線上,除了讓孩子們理解12時制和24時制的差別,

更重要的是要能理解時刻和時間的差別

2018-03-12_110701(康軒,三下)

上午9時(時刻)指的是,從凌晨0時到上午9時,共經過9小時(時間)。

下午8時(時刻)指的是,從中午12時到下午8時,共經過8小時(時間)。

所以,當題目問

2018-03-12_111438(康軒,三下)

 

課本的寫法容易讓孩子們認為是

上午8時30分(時刻) + 2小時(時間) = 上午10時30分(時刻)

 

因此,若將概念正確呈現在線段圖上,應如下:

20180312_113651

也就是

上午8時30分等同告知從凌晨0時到上午8時30分(時刻),經過了8小時30分鐘。

因此

算式意義應該是

8小時30分鐘 + 2 小時 = 10小時30分鐘

而從凌晨0時開始,經過了 10小時30分鐘,時刻就是上午10時30分。

 

對我們而言,我們會接受如課本所示的算式表徵,以避免算式過程過於繁複。

但孩子們要理解"時刻不能加減計算而時間才能"的概念也是我們所堅持的。

因此在線段圖部分,則須清楚表示出時間和時刻的差異,

然後在小組或全班討論時,去檢視彼此的數學概念是否正確。

待時間和時刻的概念穩固後,

線段圖也可省略,只要在需要時使用即可。

 

也許有人會問,

有必要如此大費周章嗎?

其實,我個人認為,

數學放在基礎學習時,訓練抽象的邏輯推理思考能力是具有不可動搖的地位,

如果不在概念還粗淺時,說明清楚並訓練邏輯思考能力,

那麼等到之後的時刻跨中午的布題,以及高年級要出現跨日布題,

孩子們就會被困住而難以理解概念了!

 

更進一步教學,可查看這幾篇部落格文章

http://163.19.142.4/wordpress/?p=736     三年級(時間與時刻計算)

http://163.19.142.4/wordpress/?p=1258    六年級 (跨日推算結束時刻)

http://163.19.142.4/wordpress/?p=1268     六年級(跨日推算開始時刻)

 

 

 

 

 

 

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2018.02.23三年級~為什麼不先分個位呢?(除法直式表徵)

今天上課,突然有一個孩子舉手問了一個問題,

他說,昨晚他媽媽問他,

為什麼除法直式不能先從個位開始分分看,而是要從十位開始呢?

他和媽媽都不知道為什麼,所以他想問問看。

 

其實,這個問題就算他不提出,

我也會在二位數除以一位數表徵都穩固後,來問孩子們。

而今天既然有人問了,那就順水推舟來解決它吧!

不過,在我開始引導孩子們解決問題之前,

當然要先讓他們自己想一想並討論一下,"先從個位或從十位分有差別嗎?"

有的孩子說"不能換錢",有的說"應該沒差",

無論如何,我將用全班討論的方式,來解決這個問題。

 

首先,我先以84÷4為例,

為了讓孩子能順利理解,我是先用圖示來說明如何將84元平分成4等份的。

當然,不管是先從個位分或是從十位分,都可以輕鬆的算出答案。

 

然後,我以75÷3為例,

類似下面的圖示配以算式的方式,來一步一步帶孩子們從個位先分,並記錄在直式上。

20180224_161002

20180224_161132

20180224_161240

20180224_161410

20180224_161448

20180224_161514

 

當我們終於順利算出 75÷3=25後,

我先問孩子們,

“一定要先從十位開始分嗎?不可以從個位嗎?"

我再問他們

“那先從個位或從十位分有差別嗎?"

最後問

“那等到我們學三位數和四位數的除法時,

你們會選擇從較大的位值開始分,還是從個位開始呢?"

 

我想大家都應該猜得出,孩子們的答案了吧! :P

 

 

 

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2018.02.22三年級~二、三位數除以一位數的除法與直式表徵

在三上時,孩子們已理解除法意義,

並能利用九九乘法表來估商且會寫直式表徵,如下:

2018-02-24_150029

但老師並不適合在當時去強調直式表徵中的位值,

畢竟在三上理解除法意義才是真正的學習重點。

所以孩子們只能依樣畫葫蘆寫直式表徵,

無法理解為什麼8要寫在0的上方,而不能寫在5的上方。

 

到了三下,期中考前的除法教學重點,

就是踩在孩子們已理解除法意義並懂得餘數的經驗上,

開始理解除法的分分看是如何有效的在直式表徵上呈現並計算出答案

 

對於三年級的孩子來說,理解二位數除以一位數的直式表徵記錄方式,

並不會如大人所想像的那麼容易,

孩子們會以千奇百怪的方式來進行直式紀錄。

 

因此,除了循序布題讓他們經驗到直式表徵可能出現的各種面貌之外,

會建議大家能

1. 一開始布題的題意都讓被除數的單位是元。

孩子們在生活中是十分熟悉 “錢"的幣值之間的關係,

因此也會很容易理解為什麼剩下的10元不能分,

必須轉換成10個1元後,才能繼續分下去。

2. 從等分除的題目開始來布題(易於用圖示來讓孩子們理解)。

多布一些等分除的題目,讓他們去認識及熟練直式表徵的各種面貌後,

才布包含除的題目。

3. 圖示與算式要同步呈現。

在初期,孩子需要足夠的圖示來輔助他們理解直式表徵的紀錄意義,

慢慢的才能脫離圖示,直接理解表徵意義。

20180224_154152

20180224_154316

20180224_154431

20180224_154535

20180224_154554

 

也可利用"萬用揭示板"中的錢幣功能,讓孩子們看到1個10元換成10個1元的過程。

http://magicboard.cycu.edu.tw/asp/edit/use.asp

 

4. 不說"補0″,換說"0個十"。

在遇到如下的算式時,成人的口語習慣說"補0″,

但為了符合教學上的一致性,還是建議說"沒有十被分出",所以記成"0個十"。

2018-02-24_155932

 

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2018.01.29三年級~圓 (圓規除了用來畫圓,還能做什麼呢?)

在三年級上學期,孩子們會認識圓的數學特徵,並學會使用圓規來畫圓及做簡單的長度測量。

理解這個單元的學習內容並不困難,但不少孩子在操作圓規時,

並無法順利使用小肌肉畫出完美的圓,

有時甚至是兩手並用來畫,結果畫出的圓當然是時好時壞。

 

當然這問題很好解決,只要多練習就可以了,

但在練習中,有沒有可能能增加些樂趣,或發現更多"圓"的奧妙呢?

 

首先

我讓孩子們思考生活中有哪些圖形是由圓組合而成的,

孩子們的答案一堆,當然我也趁機和他們釐清"由圓組合而成"的意思是什麼。

從他們的答案中,我決定要引導他們從畫  彩虹 ~ 奧迪汽車標誌 ~ 奧運標誌,

從畫彩虹的過程中,察覺並理解同心圓的意義

從畫奧迪汽車標誌奧運標誌去察覺並理解到圓心的位置半徑的長短

是會影響圖形的結果。

img026 (2)

20180129_160017

img027 (2)

 

接下來

我開始讓孩子們跟著我的魔法圓規,一步一步地畫出由圓組合的美麗花瓣圖案,

img023 (2)~ 摘自遠哲科學教育基金會"快樂學習圓形"

 

在引導他們的過程中,

我僅帶著他們示範到步驟4,

然後讓他們自己完成到步驟5。

20180124_090930      20180124_091013

在他們逐漸完整畫出步驟5的花瓣圖案時,

耳邊不時聽到驚嘆聲~"好美喔!"  “真漂亮!"  “我畫出來了!"

接下來我請孩子們拿出神奇橡皮擦,

依照我的指示,將指定的圓弧線擦掉,

20180124_091312

20180124_091453

20180124_091533

一邊擦, 一邊就又聽到孩子們開心的讚嘆聲,

這真是孩子們給我最好的教學回饋了!

 

最後

我用電子白板去展示一些由圓組合的彩繪玻璃及地磚圖形,

好讓孩子們知道"圓"在生活中的美,

大家就開心下課囉!

(以上的教學大約花了四堂課,

我是用期末考結束後的時間來進行教學的,

也可以讓孩子回家先嘗試去畫指定圖形,

隔天再來學校進行相關教學喔!)

 

下課後,有一個孩子開心拿給我看他的圖畫,真令人開心啊!

 

20180124_092716

如果教學時間足夠的話,去將這些圓的組合圖形進行著色或美術設計,

也會是很棒的STEAM課程設計喔!

 

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2018.01.15解題策略之"想清楚、說明白、寫完整"

“想清楚、說明白、寫完整"是數學討論教學的基本要求,

也是老師們要花很多時間, 一點一滴來訓練孩子們擁有的必須能力。

 

孩子們在書寫自己的解題策略時,

也必須讓自己的想法和寫法一致,不可隨意疏漏算式或自創符號(寫完整)。

 

而在寫完解題策略後,要思考自己將在接下來的小組討論或全班討論時,

要如何將自己的想法清楚說明(想清楚)。

 

上台說明自己的解題策略時,一方面要言之有序的說明策略的順序(先算、再算、然後算)

另一方面也要言之有據的適時說明自己所運用的數學知識,

這樣才能讓在小組或台下聆聽的孩子們有足夠的資訊,

去判斷這樣的解題策略是否言之有理。(說明白)

 

 

 

 

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2018.01.09四年級~等值分數在連續量與離散量中的面貌

連續量是一個連續的整體量,可以被分割。例如:重量、面積、長度等。

離散量是有多個分離個體(單位相同),可以分開一個一個的數,而將這些單位相同的分離體集合成一個整體量,就是離散量。例如:1盒有12枝筆、一串有30顆葡萄、1袋有6顆糖果等。

 

在裸題(布題沒有文字情境)的狀況下,一個分數有無限多個等值分數。

而在有文字情境的布題下,那情況就不一定了,必須要注意是連續量或離散量的布題了!

2018-01-09_160932

可是孩子們常常會陷入一個迷思,

認為綠豆糕還可以再平分一半啊,為什麼不可以寫6/18盒的答案呢?

在孩子的眼中這些綠豆糕的體積及形狀都一樣,

所以再平分1個綠豆糕也不會是個難題啊!

 

這是屬於離散量的"單位分量的內容物為單一個物"題目,

也就是說,在這個綠豆糕題目中,

1個綠豆糕就是1/9盒,所以單位分量為1/9,

而1/9盒就是1個綠豆糕(單位分量的內容物為單一個物)。

大家都知道,國小數學是屬於生活數學的範疇,

如果再去切分這個單一個物,

這不僅容易與生活經驗脫節,也會更複雜化。

 

因此,會建議在布離散量題目時,

為了讓孩子們可以察覺到單一個物的存在,並簡化問題,

可如下布題:

2018-01-09_163209

 

讓這個離散量中單一個物的大小不一,

就能讓孩子們聚焦在有8個 1顆糖的情境中,

理解到這8顆糖果是沒有必要要一樣大的。

換言之,1/2盒是4顆糖,2/4盒和4/8盒都是4顆糖(4個1顆糖)。

 

或像這樣的文字題:

一串葡萄有16顆,3/4串也可以說是幾分之幾串葡萄?(一串葡萄中的葡萄大小是不一的)

 

 

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2018.01.06 討論教學的核心動力~發現問題

“發現問題,解決問題。"  個人認為是進行討論教學最主要的目的。

無論之前論述了多少討論教學的流程、內涵、方法等,

其實,說穿了一句話,

老師若能在課堂中,讓孩子們發現問題並能解決問題

那這堂課便會是能內化知識並強化孩子能力的一堂課。

 

但凡事有因才有果,

因此若孩子不能發現問題,那也就沒有解決問題的必要了,

所以,讓一堂課室討論能虎虎生風的直搗黃龍,

就是要能在關鍵處讓孩子"發現問題",然後引導孩子利用已知的知識去解決問題,

最後從解決的過程及結果中,建構出新的知識和能力。

 

但"發現問題"的能力是需要被訓練的,

那究竟在數學教學中,如何讓孩子們有發現問題的學習機會呢?

以下提供一些做法,讓大家參考。

 

1. 在布題上做變化(以五年級容積為例)

例1: 有一個長90公分,寬50公分、高40公分無蓋的玻璃箱,

這個玻璃箱的容積是多少呢?

 

老師在布題時,可以故意漏寫"玻璃的厚度是1公分"的解題資訊,

就讓孩子們開始解題,大家可以試想孩子們會不會發現"有問題"呢?

而這個問題的發現,能不能讓他們更理解"容積"的數學意義呢?

 

例2: 有一個內部長90公分,寬50公分、高40公分無蓋的玻璃箱,

玻璃的厚度是1公分,這個玻璃箱的容積是多少呢?

 

在這題"玻璃的厚度是1公分"是屬於用不到的解題資訊,

但他們會察覺到嗎?

而這個問題的察覺,能不能讓他們更理解"容積"的數學意義呢?

 

2.老師主動提問

 

老師follow孩子的提問去進行討論課程,會輕鬆很多,那是因為孩子就是有問題才會提問。

而老師會主動提問,

往往是為了補強孩子們沒有察覺到的問題,

或想藉由老師的提問去深化孩子們的學習。

 

1) 補強孩子們沒有察覺到的問題

以上題為例,

 有一個長90公分,寬50公分、高40公分無蓋的玻璃箱,這個玻璃箱的容積是多少呢?

在這個單元,最常見的迷思就是把體積和容積搞混了,

如果都沒有孩子發現題目中的問題,

我的做法會讓孩子將這個玻璃箱的立體圖畫出來,

然後我們再來看看,玻璃箱的容積到底是指哪裡呢?

 

2)  深化孩子們的學習

有一個長90公分,寬50公分、高40公分無蓋的玻璃箱,

玻璃的厚度是1公分,這個玻璃箱的容積是多少呢?

 

我會引導孩子們去思考並討論,

題目中"無蓋的玻璃箱",有必要寫“無蓋"的嗎?

可以把這個字詞省略嗎?

 

3. 用似是而非的語述去挑戰孩子們

在教學時,老師當然知道孩子的問題出在哪裡,

但為了不剝奪孩子的學習機會,

適時的裝傻、裝笨是非常有必要的,

孩子們可是會很"樂意"去指正老師的!

 

以上題為例,

若看完孩子們的個別解題後,若不能察覺到問題的孩子接近或過二分之一以上,

這代表思考不周延或對容積的數學意義不清的孩子不少,

若進行小組討論的話,其效度可能不高,

所以我可能會先暫緩進行小組討論,

然後表達我自己的意見說:

體積和容積有不一樣嗎? 我覺得都一樣啊!

算法都是長 × 寬 × 高,單位也都是立方公分或立方公尺啊!"

接下來就要看孩子們要如何言之有理的來"對付"我這個頭腦簡單的老師了! :p

而若能成功的在教會老師的過程中,把體積和容積的概念說清楚,

那接下來的小組討論就很自然地能"自行解決"有問題的解題方法了!

 

4. 聚焦在一個錯誤的解題策略或算式來讓孩子找出錯誤

在課程進行中,

難免會出現奇思怪想的解題策略或計算,

尤其是在高年級階段。

因此,

將陷入迷思的解題策略,或使用錯誤計算方法的算式,

貼在黑板上,讓全班都一起來做偵探柯南,

討論解題者在想什麼或有出了什麼問題嗎?

在大家的腦力激盪中,

數學概念及計算的迷思都會在全班討論的過程中被說清楚、講明白,

這也是一個提升孩子們發現問題能力好方法喔!

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