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對於剛接觸到 “課室討論" 的新朋友,

不妨去翻翻我們寫的書"暢所欲言學數學“(心理出版社),

會更容易理解我們在做什麼喔!

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發表於 教學現場 | 發表迴響

2018.12.22五年級~線對稱圖形到聖誕雪花裝飾

孩子們在學線對稱圖形基本上是沒有很大的困難,

唯一要小心的就是,

在推理圖形中對稱軸的數量時,

容易忽略圖形本身是可旋轉,

不可僅從單一方向來進行判斷!

 

剪紙是民間傳統活動,

在孩子們的經驗中,早就懂得將正方形色紙進行不同折數的對折後,

再用剪刀剪去部分色紙,打開後就會形成各式各樣的紙花!

這樣的教學在很多網站都可找到,例:

https://kknews.cc/zh-tw/news/59vqeal.html

 

但如何將數學中的對稱軸學習和剪紙活動進行結合,

讓孩子們從創作美麗的圖案同時,不知不覺中也在學數學呢?

 

我有一個教學點子和大家分享,

就是用"倒退嚕"的方式來剪窗花。

 

1. 依序呈現對稱軸為1個和2個的剪紙圖形

(如果要挑戰對稱軸是3個以上,最好圖案越簡單越好,

因為複雜度變高,也有可能使教學反被卡住喔!)

 

2. 要預先將要剪的圖案印在學習單上,方便孩子們觀察,

並和孩子們討論,要如何才能剪出一樣的圖形。

 

3. 先展示一個對稱軸為1個的剪紙圖案,讓孩子們去試著剪出相同的圖案,感受到"對稱"的存在。

images (1)       images (2)

 

4. 然後再出一個對稱軸乍看之下是2個,其實是4個的窗花題目,看看孩子們是否能順利剪出,

並進行相關的討論。

此時的討論十分重要,要引導孩子們懂得要先在圖形上找出對稱軸,

然後,盡量讓孩子們先去操作實驗(剪紙),

再利用小組或全班討論,來得到可能的破解剪法SOP。

2018-12-21_161110

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images

5. 接下來,就可以由老師來指定對稱軸數目,讓孩子們來自創窗花圖案,做為教室布置的素材。

(究竟正方形色紙的折數和對稱軸數目有何關係的討論,

可視孩子們的需要來做適時的討論。)

 

進階版:  (立體雪花裝飾製作,使用雙面色紙或全白色色紙皆可)

1. 正方形色紙對摺成三角形

P_20181222_115611

2.再對摺成更小的三角形

P_20181222_115636

3. 以最長邊為底,畫出三角形的高,並在高上畫出"中心點"

P_20181222_115926

 

4. 從三角形高上的中心點畫出如下的線條

P_20181222_133438

 

5. 再各在兩邊畫出接近等距的兩條不相交的弧線

(若是色紙面積更大,則紅色弧線可以以雙數來增加數量)

P_20181222_133524

 

6. 剪開並剪斷

P_20181222_133601

 

 

7. 剪開不剪斷

P_20181222_133712

 

8. 打開色紙,在色紙中心點塗上膠水,然後如下圖般向內摺後黏貼。

P_20181222_133905   P_20181222_134001

9. 做出兩個不一樣顏色的雪花後,背對背交錯黏貼在一起,就完成了喔!

P_20181222_134347   P_20181222_134406

 

教室布置成品:

P_20181222_133227   P_20181222_133246

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聖誕快樂!    (感謝本校高月蓮老師分享的耶誕雪花好點子!)

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發表於 五年級, 幾何, 教學現場, 數學美感體現 | 發表迴響

2018.12.14四年級~整數四則運算(2)

在前些時日上傳的一篇文章中,有和大家分享有關四則運算教學要關注的地方。

http://163.19.142.4/wordpress/?p=2950

那時會整理那些資料的原因,

是因為有位老師透過FB和我聯繫

2018-12-14_113214

 

其實,當時我並沒有完整回答那位老師全部的問題,

那時,他問了一個很關鍵的問題: “學生會不知道什麼時候要括號,什麼時候不用括號。"

 

今日趁天寒,心緒冷靜之際,就來說說我對這個問題的想法好了!

 

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也因此,當學生能依四則運算的三個約定算出答案,

卻不能依題意決定如何應用三個約定來列算式(是否該加括號?),

這個警訊就代表學生從題意轉化成多步驟解題的訓練是不足的,

這也是為什麼,之前一直強調要讓學生回到題意去說明自己的算式意義,

這種基本功若沒有在從二年級到五年級的學習歷程中,

時時去挑戰及要求學生做到,

那麼學生最終也就只能在裸題(計算題)時會計算出答案,

卻無法將題意用併式並使用正確的數學表徵來表達自己的解題想法,

那麼未來的代數學習就會岌岌可危了!

 

有些學習是錯過就很麻煩,

要想再補救,真是花雙倍的力氣也未必能救回來,

所以,身為老師的我們,真的要多份心思去了解教材,

才能讓孩子在學習中,一直無懼迎風而行!

 

 

 

 

 

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2018.12.08五年級~幾合圖形的面積(2)

在網路上看到這個有趣的題目,因此就整理了一下其中的解題想法,和大家分享!

 

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發表於 五年級, 幾何, 教學現場 | 2 則迴響

2018.11.28五年級~幾何圖形的面積(1)

前幾天有機會去觀看大五實習老師的五年級梯形面積教學,使得我突然間有股衝動想去整理一下這些四邊形面積教學的教材脈絡,而今天終於完工了!

其實條條大路通羅馬,老師的教學越能貼近學生的需求,師生彼此都會能感受到學習本身的趣味喔!

下面是之前曾記錄在部落格的相關文章,
也一併供大家參考!

發表於 五年級, 幾何, 教學技巧 | 發表迴響

2018.11.22四年級~整數四則運算(1)

四則運算的併式學習,在中年級的數學學習中,具有提升數學表徵能力的重要地位。

不論108課綱將會如何分布四則運算的併式學習在中年級,其基本的教學順序依然是不會變的。

嘗試著將四則運算併式及三個運算規則的教學重點進行整理,希望能幫上大家的忙!

發表於 三年級, 四年級, 教學技巧, 計算 | 發表迴響

2018.11.06四年級~分數

在進入這個單元教學前,要先確認孩子們對於分數的先備經驗是否穩固,

尤其是要複習"單位分數"的概念。

 

建議操作教具用累加的方式,引領孩子們看到假分數的出現,

例如:  2個1/4 = 2/4

3個1/4 = 3/4

4個1/4 =4/4 =1

5個1/4 = ?

有時,孩子們也會立刻察覺到,會提問說: 5/4 可不可以表示成1個1和1個1/4,

那此時就是老師引入帶分數的最好時機。

 

此外,以下還有一些小提醒,

供老師在進行教學時,適時澄清相關的分數概念;

也可以讓孩子們產生認知衝突後,回到分數定義來思考,

重新審視分數的真實意義。

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在此階段,若能奠定好分數的概念,對於未來分數的學習及計算上會大大的加分喔!

 

 

發表於 四年級, 教學現場, | 發表迴響

2018.10.15四年級~認識三角形(二)

圖片1

上節課已將鈍角、銳角、直角三角形與正三角形命名完畢,

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今日一早先檢查了孩子們的回家作業,基本上狀況非常良好!

19186

 

接下來就是要開始引導孩子們以"邊長"來分類,認識三角形家族的其他成員。

 

理解~連結 階段

之前的7個小組共識,已解決的5個,

今天就從下面這張共識開始。

18981

三角形A在前一節課已命名為正三角形,

但孩子們也發現了正三角形不僅三個角都是60度,

且三個邊會一樣長,

所以又可以稱為"等邊三角形"。

 

T: 現在請你們細觀察三角形B、C、D、E,

有沒有哪一個三角形的邊長和其他的又有些不一樣?

S1: 三角形B有兩個一樣長的邊。

T: 是啊! 這個三角形也很特殊。

我們將學習單上的這個三角形順時鐘旋轉成這樣

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因為它有兩條一樣的邊在左右兩側,像人有左半邊的腰和右半邊的腰,

所以這兩條一樣長的邊,被命名為"腰",

而這種三角形就被稱為"等腰三角形"。

也因為如此,最下面的邊稱為"底邊",

底邊和腰所夾的角稱為"底角",

兩個腰所夾的角則稱為"頂角"。

S2:那正三角形是等腰三角形嗎?

T:它也有兩個等長的邊,所以是等腰三角形的一種。

 

T: 有沒有發現等腰三角形的兩個底角是相等的?

這是一定會如此嗎?

請你們在學習單的背面畫一個等腰三角形,看看底角會不會相等?

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(待孩子都畫完並確認底角真的相等以後)

當孩子們開始審視最後一張小組共識時,

18986

立刻提出異議,認為這樣的分類是看不出是依據什麼數學性質來分,

而且在分類前,我們也不認識正三角形和等腰三角形,

所以這個分類想法是有問題的。

(當然,這也是我為什麼將這張小組共識放在最後才討論。)

 

 

連結~擴張 階段

T: 你們知道嗎?其實三角形B還有一個不同的名稱,

因為這個三角形不僅是等腰三角形,

你的學習單上是不是還記錄著它也是直角三角形?

Ss: 對!

T: 所以,三角形B又可稱為等腰直角三角形。

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至此,所有三角形的命名介紹就全部完成了!

 

最後,在全班討論中引導孩子們歸納出以下結論:

1.正三角形又叫等邊三角形,又因為三個角都是60度,所以還是個銳角三角形。

2.等腰三角形的兩個底角的角度一定一樣,但頂角可以是個銳角、直角或鈍角。

2.一個三角形中,最多只能出現一個鈍角或一個直角。

 

ps. 教學完後,我察覺到應該在學習單上多加一個沒有直角的等腰三角形(三角形F),

這樣孩子們只要跟著課程

完成測量、觀察、紀錄,就會完全清楚這些三角形的命名原則了!

 

 

 

 

 

 

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2018.10.12四年級~認識三角形(一)

在課本上的教材安排是

活動一: 認識三角形的角、邊和頂點

活動二:認識正三角形和等腰三角形

活動三:認識直角、銳角、鈍角三角形

 

但基於課室討論的理念,教材安排理念會依循如下的概念進行發展:

 

圖片1

 

此外,我們的課室討論的核心理念的是"以孩子的學習為中心“,

因此究竟在教學現場會走哪一條學習路徑到達最後的"擴張"階段,

就要看學生在學習現場所展現的學習需求及表現而定。

這話是什麼意思呢? 且待我慢慢描述。

 

【第一節課】

經驗~察覺 階段

先連結舊經驗,問孩子們三角形有什麼數學性質,

因為三角形是孩子一點也不陌生的圖形,

因此他們將對角(由兩條邊和一個頂點所組成)的數學概念自動遷移至三角形,

很快就回答說三角形有"三個頂點、三個角、三條邊"。

接著,

就請孩子們發表一下生活中,可以在那些物品上,看到三角形的形狀;

發表討論結束後,也順便展示一些圖形,和學生確認三角形在哪裡。

2018-10-12_113916

 

不過,在展示圖形的同時,還是要讓學生理解生活中雖然有很多三角形,

但絕大多數都是類似三角形,像三角飯糰、三角巧克力等。

他們與數學上所稱的三角形還是有差異的,

後來我們班就簡稱這樣的三角形是"類三角形"。

 

再來,真正的三角形就隨著發下的學習單上場了!

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T: 現在請大家依據三角形的數學性質進行分類。

不可以說這全都是三角形,所以只分一類喔!

S1: (立刻舉手說) 可是全部的三角形就是三個角、三個邊、三個頂點,

那要如何分呢?

T: 真是個好問題! 所以呢? 三角形的角數一樣、邊數一樣、頂點一樣,

可是你看學習單上的三角形都長得不一樣,為什麼呢?

S2: 角度會不一樣!

T: 還有呢?

S3: 邊長也不一樣!

T: 嗯! 所以可以依據這些數學性質來分類嗎?

Ss: 可以。

T: 那就請大家拿出量角器和直尺來測量並分類,

並將你的分類理由及結果寫在白板上。

(學生分類中)

 

T: 現在請大家依照序號2-3-4-1進行分類結果的討論,

最後請在小組中選出一個大家都認同的分類(小組共識),

然後貼到教室白板上。

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在下課時,就僅完成了七組的小組共識,

其他的就要等待明天的數學課了!

也許有人會認為,這樣的教學進度太慢了,

但事實上,若是我們給予正在具體運思期的孩子足夠的操作經驗,

反倒更能協助他們快速進入抽象思考呢!

 

【第二節課】

察覺~理解 階段

今天依上課就是要請孩子來分類,並說明分類理由。

S1: 我是將以"角度"和以"邊長"來分成兩類。(如下)

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S2:可是左上角的那張分類並不是以"角度"來的啊!應該再分出一類。

(在全班的同意下,又出現更進一步的分類。)

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所以現在全班的分類共識是三類。

 

(有時,"共識"這個詞會讓人誤解,認為那就是最終結果了。

其實,"共識"對我們而言,是在當時被大家所共同認同的,

並不代表是結束。

也就是說,

從小組共識到全班共識都是很有可能隨著後續的討論一直有依據的進行修正,

而最後在全班討論後確認不再有疑問的共識才是最終的結果喔!)

 

由於以角度來分類的小組居多,

看來先讓孩子們理解鈍角、銳角及直角三角形會比較好,

因此就先撤下另外兩類,

開始引導孩子去檢視那五組以角度來分類的內容,

看是否能在大家的檢視下獲得認同。

 

全班討論結果簡記如下:

1. 三角形無法畫出兩個鈍角,所以將"都是鈍角"修正為"有鈍角"。

Inked18984_

 

2. D有鈍角,所以D和E不該是一類。Inked18980

3. 分類混亂,有用形狀來分,又有用角度來分,最後建議分為有"一樣的角"和"沒有一樣的角"。

Inked18983_

4.這一組是最令大家匪夷所思的。經過該組的解釋,才知道原來他們只看圖形最左邊的腳來分類。但同學認為三角形有三個角,是必須都要考慮到才行,所以這組分類失敗。

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5.這組是唯一通過全班檢視後,挑不出問題的。

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因此,接下來就以這一組的分類來依序介紹三角形家族的名稱。

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1.  介紹A是正三角形,因為它的三個邊等長、三個角都一樣大(60度)。

2. 先問孩子們 “一個三角形中,有沒有可能出現兩個直角?"

讓他們理解B和C都是由一個直角及兩個銳角所組成,所以被命名為"直角三角形"。

3.而D是鈍角三角形,很快孩子們就接受了。

4.剩下的E,三個角都是銳角,當然會命名為"銳角三角形"。

5. 再帶孩子們重新觀察三角形A,他們就發現,原來正三角形,也是一個銳角三角形喔!

 

 

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上面就是下課前完成的成果喔!

回家作業是一張學習單,

請孩子們試著畫出今天學會的四種三角形,

並標示出每個角的角度(順便複習量角器的操作 )。

 

 

對我們而言,

孩子們的分類是否正確的唯一依據,就是分類的數學想法是否展現出正確的數學性。

而大家仔細看看孩子們的分類說明,即使不完美,

但也可以相信他們對這5個三角形已經有了更深層的認識了吧!

這就是當孩子們有了在經驗~察覺的階段有了足夠的浸潤之後,

接下來的理解 階段只是臨門一腳,難度不大。

至於接下來的 連結~擴張 就要等下週一的教學囉!

 

 

 

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2018.10.01四年級~整數乘法(多位數乘以多位數)

孩子們若乘法的概念穩固,就應該到此階段已充分了解被乘數和乘數之間的關係。

可參考 http://163.19.142.4/wordpress/?p=2009

 

那麼多位數乘以多位數的困難,

對孩子們來說,就不會在於知不知道是否該用乘法來解題,

而會是如何算出相乘過後的答案,以及乘法表徵究竟該如何寫了!

 

讓我們回到三上時,回憶一下孩子們是如何理解二位數乘以一位數的乘法。

P1050030

請見 http://163.19.142.4/wordpress/?p=2161

 

當時,他們大部分的直式表徵都會長得像這樣,有兩層的相乘結果然後再相加。

2017-09-27_132551

 

少部分的孩子會這樣寫,直接寫成一層。萬一需要進位,就在被乘數上面畫記。

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現在到了四年級了,

一開始要學四位數乘以一位數,

這對孩子們來說,太簡單了!

因為三年級就已經學會了三位數乘以一位數了。

 

但在學四位數乘以一位數時,

我不僅要引導孩子理解並習慣用一層的直式表徵來表示,

17814

還有一個重要的數學規律需要開始引導孩子們理解,

舉例來說,

4*2=8

40*2=80

400*2=800

4000*2=8000

孩子們當然可以用位值概念來理解(400就是100有4個,乘以2倍,就等於100有8個),

也可以用直式輕而易舉算出答案,

但其實這裡的重點不是"答案",

而是是否能發現其中的"規律“,

也就是可以先不看被乘數後面的零,直接將無零的兩個數字先相乘,再將零補回來

 

通常,這也是第一次我開始正式帶孩子去發展用舉例去經驗"數學證明"的開始,

他們也會第一次經驗到數學律法的威力。

400*2

=100*4*2

=4*100*2 (使用乘法交換律)

=4*2*100(再度使用乘法交換律)

 

然後在教接下來的一位數乘以二位數之前,

還要再引導孩子們察覺到下面的規律

4*2=8

4*20=80

4*200=800

4*2000=800

也就是可以先不看乘數後面的零,直接將無零的兩個數字先相乘,再將零補回來

並試著舉例完成證明

4*200

=4*100*2

=4*2*100 (使用乘法交換律)

 

然後順便臨門一腳,

也和孩子們一起完成舉例證明,

400*800

=100*4*100*8

=4*100*100*8

=4*100*8*100

=4*8*100*100

=4*8*10000

並確認數學規律,

也就是可以先不看被乘數乘數後面的零,直接將無零的兩個數字先相乘,再將零補回來

當我和孩子們說,這個數學規律可以有效解決大數乘法的問題,

結果,立刻有提問說,

如果是幾億乘以幾億呢?

既然孩子們出招了,

我立刻在白板上寫了

1200000000000 * 9000000000000

=12*9*100000000000000000000000

在孩子的讚嘆聲中,

又有人提問了,

那如果大數中的被乘數和乘數都沒有零呢?

我只好忍住笑回答說: “那當然是拿出計算機來算啊!  哈哈哈!  "

 

 

看到這裡,也許有人開始納悶,覺得為什麼要這麼"多此一舉"去教這些規律呢?

其實這些規律很重要,

這樣才能合理說明當乘數是整十倍、整百倍…..等的乘法,

為什麼可以用直式表徵輕易算出。

 

接下來,就是要開始教乘數是二位數的乘法了。

 

這時,我便開始布文字題了(如下),並讓孩子要用已學會的數學知識來試著解題,

如果有人已在補習班學會馮老師還沒教過的直式表徵,

要用也可以,但之後要和大家說明清楚表徵中的數學理由。

1箱蘋果有8顆,26箱有幾顆蘋果?

 

結果,

沒人寫出一位數乘以二位數的直式表徵,

在行間巡視時,就發現有不少孩子為了避免直式表徵為自己招來老師的注意,

就直接寫成  8*26=208,

我立即請大家先停止解題,

問那些同學是如何心算出 8*26=208,如果不能說明就必須重新思考

此話一出,孩子們再度開始個別解題時,

那些寫8*26=208的孩子就紛紛放棄,再度開始思考該如何解題。

(這真是很煎熬的時刻,孩子們被老師打槍又腸枯思竭!)

 

結果出現了兩種解題策略:

1)  8+8+8+8+……..+8=208

2) 8*26=26*8=208 (使用乘法交換律)

 

我是這樣跟孩子們說的:

8+8+8+8+……..+8=208這個策略是可以解題的,

但如果題目變成 8*99,你們還會想這樣算嗎?

所以對於這題來說,這個策略是ok的,但無法有效處理所有的題目。

8*26=26*8=208 這個使用乘法交換律來解題的策略也是對的,

但如果題目改成 18*26,那使用乘法交換律好像也不行吧!

我現在用這麼簡單的數字來布題,

就是為了不讓數字干擾你們的思考,

所以請再挑戰自己,看看能不能挑戰成功?

(孩子似乎清楚了思考方向,重新又投入的個別解題中。)

 

最後,終於有數個孩子突破重圍,接力上台試著說明,解救了大家,

再加上我在白板右側為他們複習之前是如何學會乘法直式表徵,

大家終於更了解了一位數乘以二位數直式表徵的架構了,

也基於之前所確認的數學規律,

因此很快就理解了為什麼  8*20=160。

 

在下課前,我又投下了一顆"炸彈",

我說:

以後各位寫乘法直式表徵,乘以二位數時,我只接受如黑板上有兩層的直式表徵,

不會接受直接寫一層的直式表徵。

可是,老師又很奇怪,當各位乘以一位數的時候,我又可以接受僅有一層的直式表徵,

你們能找到其中的數學理由嗎?

下節社會課後,還有一堂數學課,到時我要問大家是否有發現直式表徵中的秘密

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在下一節的數學課中,

我主要是在引導孩子們發現乘法直式表徵的架構,

也就是乘數的位數決定直式表徵的樣貌

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當孩子們理解後,我再問那如果以後我們要計算乘以三位數,

例如   36*125 請問直式表徵會有幾層,孩子們立刻回答"三層",

 

最後再處理一下,表徵中較細節的部份,讓孩子們理解這些表徵都是ok的。

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到此終於水到渠成了!

從開始教四位數乘以一位數到今日,我已用了四節課,

教學速度好像烏龜在爬一樣,

但我有信心,接下來的不管被乘數和乘數是幾位數,

這些孩子都可以在之後的布題中,

有自信地寫出乘法直式表徵並能清楚說出其中的數學理由了,

教學進度終於可以不用再烏龜爬,而能勇往直"飛"了!

 

 

 

 

 

發表於 四年級, 教學技巧, 計算 | 發表迴響

2018.09.06三年級~角度(認識量角器與測量角度)

有關「認識量角器」的相關教學,

請參考p.30~p.49的教學

http://www.km.edu.tw/uploads/news/Nei_Ye_1-72You_Qie_0115Xiu_Zheng_.pdf

 

孩子們在這個單元最大的迷思,就是對「角的定義」了解不夠,

因此在測量角度時,容易陷入以下的迷思:

  1. 忽略量角器上的「中心點與角的頂點」及「角的邊與量角器上畫線」之間的關係,因此在測量時,只要角的開口朝向不同方向,就會常常量錯。
  2. 沒感受到1度角是多麼的小,因此測量時不懂要十分小心。
  3. 不了解「角上兩邊所夾的範圍」為角度的意思,使得孩子很難去理解平角及大於平角的角。

 

課本上會很清楚的交代如何畫角(康軒四上)

2018-09-06_103936

但是,建議讓孩子們將課本關上,自己先思考要如何畫出一個65度的角。

大家可能會發現,不少孩子都會直觀的認為要先拿出量角器,

然後在0度和65度的地方各做一個記號,

再將量角器拿開,以那兩個記號點各畫出一條邊並讓這兩條邊相交,

就完成65度角的繪製了。

 

孩子便宜行事型的思維,很不可思議吧!

因為量角器的中心點(也就是角的頂點)是在量角器內,

所以孩子是用目視量角器中心點的位置,然後抓個大概的位置作為角的頂點,

就完成角的繪製了!

如果能先打破這個迷思後,再學習正確的畫角步驟,

接著再試著畫出開口方向不同的角,

相信孩子們對角的認識就更足以支撐後面認識"旋轉角"的概念了!

 

發表於 四年級, 教學現場, 量與實測 | 發表迴響