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會更容易理解我們在做什麼喔!

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2018.01.15解題策略之"想清楚、說明白、寫完整"

“想清楚、說明白、寫完整"是數學討論教學的基本要求,

也是老師們要花很多時間, 一點一滴來訓練孩子們擁有的必須能力。

 

孩子們在書寫自己的解題策略時,

也必須讓自己的想法和寫法一致,不可隨意疏漏算式或自創符號(寫完整)。

 

而在寫完解題策略後,要思考自己將在接下來的小組討論或全班討論時,

要如何將自己的想法清楚說明(想清楚)。

 

上台說明自己的解題策略時,一方面要言之有序的說明策略的順序(先算、再算、然後算)

另一方面也要言之有據的適時說明自己所運用的數學知識,

這樣才能讓在小組或台下聆聽的孩子們有足夠的資訊,

去判斷這樣的解題策略是否言之有理。(說明白)

 

 

 

 

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2018.01.09四年級~等值分數在連續量與離散量中的面貌

連續量是一個連續的整體量,可以被分割。例如:重量、面積、長度等。

離散量是有多個分離個體(單位相同),可以分開一個一個的數,而將這些單位相同的分離體集合成一個整體量,就是離散量。例如:1盒有12枝筆、一串有30顆葡萄、1袋有6顆糖果等。

 

在裸題(布題沒有文字情境)的狀況下,一個分數有無限多個等值分數。

而在有文字情境的布題下,那情況就不一定了,必須要注意是連續量或離散量的布題了!

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可是孩子們常常會陷入一個迷思,

認為綠豆糕還可以再平分一半啊,為什麼不可以寫6/18盒的答案呢?

在孩子的眼中這些綠豆糕的體積及形狀都一樣,

所以再平分1個綠豆糕也不會是個難題啊!

 

這是屬於離散量的"單位分量的內容物為單一個物"題目,

也就是說,在這個綠豆糕題目中,

1個綠豆糕就是1/9盒,所以單位分量為1/9,

而1/9盒就是1個綠豆糕(單位分量的內容物為單一個物)。

大家都知道,國小數學是屬於生活數學的範疇,

如果再去切分這個單一個物,

這不僅容易與生活經驗脫節,也會更複雜化。

 

因此,會建議在布離散量題目時,

為了讓孩子們可以察覺到單一個物的存在,並簡化問題,

可如下布題:

2018-01-09_163209

 

讓這個離散量中單一個物的大小不一,

就能讓孩子們聚焦在有8個 1顆糖的情境中,

理解到這8顆糖果是沒有必要要一樣大的。

換言之,1/2盒是4顆糖,2/4盒和4/8盒都是4顆糖(4個1顆糖)。

 

或像這樣的文字題:

一串葡萄有16顆,3/4串也可以說是幾分之幾串葡萄?(一串葡萄中的葡萄大小是不一的)

 

 

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2018.01.06 討論教學的核心動力~發現問題

“發現問題,解決問題。"  個人認為是進行討論教學最主要的目的。

無論之前論述了多少討論教學的流程、內涵、方法等,

其實,說穿了一句話,

老師若能在課堂中,讓孩子們發現問題並能解決問題

那這堂課便會是能內化知識並強化孩子能力的一堂課。

 

但凡事有因才有果,

因此若孩子不能發現問題,那也就沒有解決問題的必要了,

所以,讓一堂課室討論能虎虎生風的直搗黃龍,

就是要能在關鍵處讓孩子"發現問題",然後引導孩子利用已知的知識去解決問題,

最後從解決的過程及結果中,建構出新的知識和能力。

 

但"發現問題"的能力是需要被訓練的,

那究竟在數學教學中,如何讓孩子們有發現問題的學習機會呢?

以下提供一些做法,讓大家參考。

 

1. 在布題上做變化(以五年級容積為例)

例1: 有一個長90公分,寬50公分、高40公分無蓋的玻璃箱,

這個玻璃箱的容積是多少呢?

 

老師在布題時,可以故意漏寫"玻璃的厚度是1公分"的解題資訊,

就讓孩子們開始解題,大家可以試想孩子們會不會發現"有問題"呢?

而這個問題的發現,能不能讓他們更理解"容積"的數學意義呢?

 

例2: 有一個內部長90公分,寬50公分、高40公分無蓋的玻璃箱,

玻璃的厚度是1公分,這個玻璃箱的容積是多少呢?

 

在這題"玻璃的厚度是1公分"是屬於用不到的解題資訊,

但他們會察覺到嗎?

而這個問題的察覺,能不能讓他們更理解"容積"的數學意義呢?

 

2.老師主動提問

 

老師follow孩子的提問去進行討論課程,會輕鬆很多,那是因為孩子就是有問題才會提問。

而老師會主動提問,

往往是為了補強孩子們沒有察覺到的問題,

或想藉由老師的提問去深化孩子們的學習。

 

1) 補強孩子們沒有察覺到的問題

以上題為例,

 有一個長90公分,寬50公分、高40公分無蓋的玻璃箱,這個玻璃箱的容積是多少呢?

在這個單元,最常見的迷思就是把體積和容積搞混了,

如果都沒有孩子發現題目中的問題,

我的做法會讓孩子將這個玻璃箱的立體圖畫出來,

然後我們再來看看,玻璃箱的容積到底是指哪裡呢?

 

2)  深化孩子們的學習

有一個長90公分,寬50公分、高40公分無蓋的玻璃箱,

玻璃的厚度是1公分,這個玻璃箱的容積是多少呢?

 

我會引導孩子們去思考並討論,

題目中"無蓋的玻璃箱",有必要寫“無蓋"的嗎?

可以把這個字詞省略嗎?

 

3. 用似是而非的語述去挑戰孩子們

在教學時,老師當然知道孩子的問題出在哪裡,

但為了不剝奪孩子的學習機會,

適時的裝傻、裝笨是非常有必要的,

孩子們可是會很"樂意"去指正老師的!

 

以上題為例,

若看完孩子們的個別解題後,若不能察覺到問題的孩子接近或過二分之一以上,

這代表思考不周延或對容積的數學意義不清的孩子不少,

若進行小組討論的話,其效度可能不高,

所以我可能會先暫緩進行小組討論,

然後表達我自己的意見說:

體積和容積有不一樣嗎? 我覺得都一樣啊!

算法都是長 × 寬 × 高,單位也都是立方公分或立方公尺啊!"

接下來就要看孩子們要如何言之有理的來"對付"我這個頭腦簡單的老師了! :p

而若能成功的在教會老師的過程中,把體積和容積的概念說清楚,

那接下來的小組討論就很自然地能"自行解決"有問題的解題方法了!

 

4. 聚焦在一個錯誤的解題策略或算式來讓孩子找出錯誤

在課程進行中,

難免會出現奇思怪想的解題策略或計算,

尤其是在高年級階段。

因此,

將陷入迷思的解題策略,或使用錯誤計算方法的算式,

貼在黑板上,讓全班都一起來做偵探柯南,

討論解題者在想什麼或有出了什麼問題嗎?

在大家的腦力激盪中,

數學概念及計算的迷思都會在全班討論的過程中被說清楚、講明白,

這也是一個提升孩子們發現問題能力好方法喔!

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2017.12.21六年級~從分數除法談"當量除"

六年級的分數除法是小學生從整數、小數、分數的四則運算中,

很重要的一關了!

這個單元像是要進入國中純數的一個問路石,

孩子們要能在無法畫出具體圖示的狀況下,

理解題意去進行抽象的運算。

( 顛倒相乘的證明 http://163.19.142.4/wordpress/?p=438

有餘數的分數除法 http://163.19.142.4/wordpress/?p=1806 )

 

 

而要讓孩子們能理解分數除法的邏輯,

就如同課本的布題一般,走包含除的路徑會讓孩子們比較容易理解。(康軒,六上)

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而課本也會適度規避用等分除的概念來布題。

為什麼呢?

 

簡單來說,在等分除的情境裡,

不管被除數是整數、分數或小數,而除數為整數時,

孩子們的生活經驗是可以理解題意的,

只是當被除數是分數或小數時,需要更多的數學概念來支撐計算過程。

例如: 把一袋 30/9  公斤的米,平分成2包,1包米是多少公斤?(除數為整數)

 

但在相同狀況,除數為分數或小數,不為整數時,

等分除的題目就會開始脫離孩子們的生活經驗了!

像下面這種題目就是在解題時有著等分除的形式,但稱為"當量除"會更為適切。

(  當量乘:單位當量×當量數=當量值

   當量除:當量值÷單位當量=當量數   或     當量值÷當量數=單位當量 )

例如:

(1) 12/5公升的果汁就是 6/7瓶,請問一瓶果汁有多少公升?(除數為分數)

(2) 180元可以買2.5公斤紅豆,請問 1公斤紅豆是多少元?(除數為小數)

 

這種計算的需求在成人的日常生活中倒是常會出現,

尤其是像第(2)小題,與金額有關的計算,

但因為現行的最小幣值已是1元,所以最後都會被四捨五入、無條件進入或捨去而已。

不過,

如果讓孩子們一直執著在題意上等分除的語意來思考,應該會覺得很詭異,

180元÷2.5 後,為什麼就會是 1公斤紅豆的價錢呢?

 

因此,我常跟孩子們說,如果無法理解題意,

就先以算式填充題依題意記下,再思考該用哪個數學知識來求答案。

 

以本題為例:

(     )× 2.5 = 180

再根據乘除互逆的數學知識,

就會寫成 180 ÷2.5 =72,算出1公斤紅豆是72元,

這樣會不會更好說明解題的想法呢? : )

 

 

 

 

 

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2017.12.15三年級~從除法布題看到學習機會的可能性

要刺激孩子們發展多元且有邏輯的推理思考能力,

就必須在教學時,隨時為孩子們提供學習思考的機會。

 

這話怎麼說呢?

以下題為例(康軒,三上)

2017-12-15_111839

 

課本上的提示已經限制了學生思考的方向,

學習思考的機會也會被剝奪,

學生的解題就會是

2017-12-18_161619

這也是為什麼我們在上課時,顯少讓學生拿出課本來上課,

而是將題目直接抄在白板上的原因之一了。

那還需要買課本嗎?

當然需要囉! 對我們而言,課本不是為了上課而存在,

卻是課後複習的必需品,

因為,我們不會脫離課本的布題,

只是視教學需求要進行微調和微修而已。

 

因此,上課時的布題只有

2017-12-15_111850

 

 

孩子們的解題很自然就只有2種,因為這已經是除法單元學習的最後一題了。

(1)                                             (2)

2017-12-18_113802            2017-12-18_113821

答: 8瓶                                               答: 7瓶

 

要解決這個迷思,當然是要回到題目去澄清,

孩子們也很快的依據題意說出"要一人一杯,所以剩下的4人也要再買一瓶給他們。"

那為什麼沒出現"一人一杯,46個人就是46杯,而剩下的4杯需要再買一瓶飲料才夠"的說法呢?

我想是因為孩子們是看到題目一開始敘述為"老師要請46個小朋友喝飲料",

所以直覺上,就不會去轉譯"46個人就是46杯",

這也是課本為什麼會用圖示去暗示孩子們可以這樣想。

 

但不管是把被除數想成46人或46杯,都不會影響解題結果的,

所以

一般來說,教學到了這裡就算功德圓滿了,那還有其他的學習思考機會嗎?

 

 

以下是我接下來的引導內容,引導目的是要將除法的數學意義做一個整理,

並檢測孩子們對題意的理解程度,且在下面與大家分享。

 

T: 餘數為4,你們認為是4人,對吧?  那為什麼單位是"人"?

S1: 因為餘數是從被除數剩下來的,所以單位和被除數一樣。

 

T: 那這題的除數有沒有單位?

此話一出,台下就開始亂成一團,有人說"有,是6杯",有人說"沒有",

七嘴八舌好不熱鬧。

 

T: 看來你們意見並不一致,那可以先回答這個題目是屬於平分(等分除),還是幾個一數(包含除)的除法題目呢?

S們: 幾個一數

T: 所以除數應該有單位,那是什麼呢? 現在小組快速討論3分鐘,開始!

(小組討論中)

T: 請有想法的人先說。

S2: 是6杯,因為題目說"一瓶飲料可以倒6杯"。

T: 所以是

2017-12-18_120458 , 這樣不會很奇怪嗎? 46個人要如何6杯一數啊?

(孩子們陷入卡關狀態中)

 

S3: 所以應該是6人,

2017-12-18_120505,這樣才會合理。

(但全班仍未獲得共識,只好讓他們各抒己見,再進行一次3分鐘小組討論。)

 

T: 現在各位可以合理說明,到底是6杯還是6人嗎?

(沒人舉手,看來是時候老師要出手相救了!)

 

T: 大家都認為這題是屬於幾個一數(包含除)的題目,

那除數就應該和被除數單位一樣,所以該是6人

可是你們又無法從題目中看到線索,

去確認除數的單位是"人"對吧?

 

T: 去重新看一次我畫線的這些句子,你能看出除數是6人嗎?

(此時台下終於出現了一些孩子們恍然大悟的聲音)

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T: 你可以看得出一瓶飲料可以倒6杯,就代表可以給幾個人喝呢?

S們: 6人

T: 為什麼?

S們: 因為一人一杯。

T:因此這題真的應該是

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,但從題目中並無法一下子就看出來,

你必須從"一瓶飲料可以倒6杯"中去察覺到6杯就是6人的意思,

這也是在考驗你有沒有真的看懂題目喔!

 

後記:

要不受思考框架的限制,發展多元且有邏輯的推理思考能力,

老師必須要多點心思去體貼孩子的心,

順著孩子的思考方向去引導他們,

並重視歷程多於結果。

 

先放手讓他們去挑戰,挑戰不成功就給一點引導(支撐),

再讓他們去挑戰,最後即使孩子們已無力解決,

老師出手相救也無妨,

因為跌跤過才會知道站起來的不容易,

並且懂得站起來的訣竅在哪裡,不是嗎?

下次就會更不容易跌跤了!

 

 

 

 

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2017.12.07三年級~除法(等分除和包含除)

有關於三年級除法的部分,在前幾年的部落格文章中,已敘寫不少篇了!

 

由於除法有等分除包含除兩類,

常有人會質疑,讓孩子們分出其中的差異有什麼重要性呢?

 

在目前三年級的學習中,可能覺得這並不重要,

但到了高年級,題意變複雜時,

孩子們就要自行依題意決定要如何運用用加減乘除來解題,

而決定該運用何者來運算,就是奠基在他們對加減乘除的數學意義理解上。

 

但要讓小孩子們能理解這其中的差別,

是必須再費點功夫的!

建議用題目和圖示來讓孩子們進行察覺活動,

讓他們理解到,即使數學表徵都一樣,但在數學意義上是有差異的

 

此外,等分除和包含除的文字意義並不容易讓孩子們理解,

因此可以用其他的名詞來代替,如等分除(平分)、包含除(幾個一數),

只要全班能達到共識,就可以做為班級討論溝通用的數學語言。

 

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此外,千萬不要讓孩子們以為除法是乘法,

除法只是利用乘法來快速估出商數(估商),

因此建議一旦孩子們能理解除法的意義,

就不要再拘泥要求他們寫除法表徵的同時,

也要寫出乘法表徵,

個人覺得這會混淆他們對乘和除的概念,

大家不妨在教學時觀察看看!

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2017.11.23三年級~重量(認識1公斤秤)

四年前教三年級秤面(見http://163.19.142.4/wordpress/?p=595),和現在教會有什麼不同嗎?

其實,我覺得並沒有什麼不同,依然是以"經驗~察覺~理解"為教學設計主軸,

只不過,這回因為學生換了另一批,所以就嘗試了另一個教學路徑來教教看。

 

一開始,還是讓孩子們從生活經驗中去理解到,

生活中是會有需要能秤出1公斤以內的物體重量的秤,例如鉛筆盒、課本等,

因此1公斤秤就是指能秤出1公斤以內的重量,

當然也要同時宣告重量單位是公斤和公克,1公斤=1000公克。

 

有趣的是,

立即有孩子舉手問,"公斤和公克誰比較大?"

怎麼會有這種怪問題,

仔細一想,唉! 這孩子只看數字覺得 1小於1000,

但又覺得公克比較大,好像怪怪的,所以才有此一問,

因此立即在白板上補寫上 “1000個1克=1公斤" 。

 

接著,就開始引導孩子們想想該如何將1000克,安排進一個圓形的秤面中,

並且可以很容易就看出重量是多少?

步驟1: 請他們先設計出秤面上的大刻度。

p.s. 在引導個過程中,不免有孩子對秤面上的大刻度缺乏具體想法。這時我就隨機利用一下教室牆面上的鐘面,讓孩子察覺到鐘面的刻度設計為什麼會這麼容易辨識,讓孩子理解他們所設計的1公斤秤面大刻度也應該有這樣的特徵。

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步驟2: 進行小組討論,選出小組中被大家認同的秤面設計。

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步驟3: 將小組共識貼在教室白板上,開始進行全班討論。

(全班共7組,但只有5組送出。)

在全班討論中,全班都認為將秤面每125公克做為一個大刻度是比以250公克好用。

p.s.下課前和孩子們約法三章,不要去偷看課本的一公斤秤面,讓自己明天可以有機會繼續探索,而孩子們都同意了!

(第一節課結束)

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步驟4: 在昨日獲得認可的秤面設計上標示出中刻度。

先個別進行解題後,再進行小組討論。

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結果,全班29人,全軍覆沒,沒有人能想出好的標示方法,

(我猜是因為125無法被2整除,

而這群三年級的孩子又無法察覺到可以用25公克為一中刻度單位。)

全班正準備要放棄,該由老師來出手相救的同時,

(這也證明孩子們真的有遵守約定沒有去偷看課本)

有一個孩子突然舉手了說:" 我認為這個秤面根本不好用,應該重新設計。"

此話一出,正好讓我有機會對孩子們做機會教育,

讓他們懂得有時候無法突破困境時,

捨棄從另外一個角度重新來做,

也是一種解決問題的方法呢!

 

因此,接下來當然是讓他們再重新設計一次1公斤的秤面,

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而以100公克為大刻度的單位終於脫穎而出了!

有意思的是,這樣的以100公克為大刻度的秤面設計,

在步驟1(個別解題)時就出現了,

但卻在之後的小組討論被淘汰了,

到了現在要處理中刻度時,大家才重新看到它的價值,

與孩子們一起經歷他們的思考歷程,真是十分有趣!

 

步驟5: 進行全班討論,去觀察真正的一公斤秤面上的刻度設計。

大家發現到中刻度是50公克、小刻度是10公克,還有小小刻度是5公克。

 

p.s.為什麼我不繼續讓孩子們去討論出中刻度、小刻度呢?

我認為測量工具的刻度的設計,當然是以實用為主,

接下來更小的刻度是如何設計的並不是他們的學習重點,

而是能讓孩子在學習活動中,經驗到刻度設計的原理,

並能熟悉不同刻度所代表的重量才是重要的事。

 

步驟6: 請各小組去找到老師指定重量的物品。(練習看1公斤秤面)

布題:  請找出符合下面重量要求的物品。

1. 重量介於250~350公克的物品一個。

2.重量介於500~700公克的物品一個。

3. 重量介於900~1000公克的物品一個。

指定重量範圍而不是單一重量,

是因為讓孩子們從身邊的物品找到單一重量是有困難度的。

 

步驟7: 利用班上的攝影機將真實秤面的影像傳到電子白板上,

然後全班來共同檢測各小組送出物品重量的正確性。

(提供辨識單一重量的學習機會)

 

(第二節結束)

 

步驟8: 直接觀察3公斤秤面的刻度設計。

 

為什麼不重複認識1公斤秤面的學習過程,而直接看真實的3公斤秤面呢?

我認為如果孩子們在1公斤秤面的學習活動中,

能理解秤面刻度設計的原理,

那麼觀察3公斤秤面就會經驗遷移,因此是不會出問題的。

 

步驟9: 與1公斤秤面的刻度進行比較。

步驟10: 用課本習題來練習辨識3公斤秤面。

(第三節結束)

 

步驟11: 以小組為單位,

讓孩子們選出想知道重量的4個物品,

物品重量要在3公斤以內,

且這4個物品的重量要有明顯的不一樣。

 

步驟12:請他們用手去估測一下重量,並在小白板上記錄下估測的重量。

 

在第二節課用1公斤秤重的過程中,

孩子們發現一本數學課本是295公克(可看成300公克),

而班上大家都愛看的未來少年(月刊)一本是接近500公克。

因此,會引導孩子在估測重量的同時,

要他們以這兩個物品為基準量,然後再進行估測。

(每一個孩子都有數學課本,而班上有35本未來少年月刊,所以夠用了!)

 

步驟12: 每組都有1公斤和3公斤秤各一個,開始進行實測並記錄在小白板上。

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步驟13: 利用班上的攝影機將真實秤面的影像傳到電子白板上,

然後全班來共同檢測各小組選出物品的實際重量是否正確。

 

(第三節結束)

 

接下來的課程,就是學習公斤和公克的換算及重量的加減計算了。

 

 

 

 

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2017.11.10三年級~連減併式

今日是連減併式的第一節課,

先布了一個簡單的題目

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孩子們很快就寫出算式,並逐次減項來記錄,

並未發現他們有使用括號的需求,所以就不提。

 

接著的布題是以下題為藍圖重新改寫,

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布題:

烘焙店上午賣出136個麵包,下午賣出72個麵包,

店中的麵包全部只有250個,請問最後剩下多少個麵包?

 

目的想檢測孩子是否沒在看題意,而在耍小聰明,依數字順序來解題。

結果全班29人,

僅有1人寫出 136-72-250 ,另1人寫136-72+250,

其餘27人皆寫成250-136-72。

 

想要和大家分享的是,

在孩子個別解題時的行間巡視,

發現有一個孩子寫著 136+72-250,

但想了一會兒就將算式擦掉,改成250-136-72。

這個現象告訴我,孩子出現了不同的解題策略,

但卻因要併式,而不得不放棄,

所以,我就就展開了"救援"行動。

 

T: 剛剛這題我看到力銘先寫出了"136+72-250″,

過了一會兒又擦掉重寫。你們覺得力銘在想什麼?

 

S1: 他想先算出共賣出多少個,然後再算出剩下多少。

 

T: 可是力銘會擦掉這個算式是因為……?

 

S2: 136+72-250=208-250 , 這樣不能減。

 

T: 我們雖然知道力銘的解法是沒問題的,

但是在併式時,就會出現困難,

所以必須放棄嗎?

有可能去更改算式去符合力銘的想法嗎?

 

S3: 可以改成 250-136+72

 

T: 對於這個想法大家同意嗎?

給各小組3分鐘討論,要討論出你同意或不同意的數學理由。

(小組討論中)

 

S4: 因為算式要從左往右計算,所以這樣會變成

250-136+72 = 114+72

 

T: 說得很好! 如果用這個算式,力銘的想法是不可能被理解的,

可是他的想法又是對的,因此老師現在要介紹一個數學符號叫括號。

如果將算式放在括號裡面,就代表要先算,也就是擁有優先計算的權力。

所以,如果要記錄力銘的想法,我就會寫成

250-(136+72 )

=250-208

=42

 

話說到這,只聽到孩子興奮的開始七嘴八舌的說

“我一開始也是想這樣來解題!"

“哇! 括號好好用!"

“好強喔!"

“老師,我們可以用括號來解題嗎?"

 

T: 只要是我們經過討論,確實了解的數學符號,

即使課本上沒有,當然是可以用的,那是因為你們已經真正懂了。

如果是家長或安親班老師超過進度先教的部分,

只要你能清楚說明其中的數學意義,

就可以使用,

如果只會用,但說不清楚,就不能用。

這就是我們以後解題的共識囉!

 

後記:

課本內容是固定的,

但孩子的知識若建構得宜,

往往會是呈現跳躍式的前進,

因此貼近孩子的需求才能為他們的學習注入源源不斷的動力!

 

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2017.11.08三年級~從併式出發到四則運算

加法併式、減法併式及加減併式,

對孩子們來說,只要依據題意來列算式,

難度並不高,

也因此在教學手冊(康軒三上)中僅預估教學時間為4節課。

 

可是,併式是理解四則運算算式紀錄的起點,

而四則運算則是高階算式紀錄能力建立的起點,

也就是說,"併式"真的很重要!

 

可是,到底重要在哪裡呢?

教學時,三年級的孩子們只要隨著題意就能輕易完成併式,

然後加加減減,答案就出來了,不是嗎?

 

如果老師能在這個教學單元,讓孩子扎實理解到下面的數學概念,

而不是依樣畫葫蘆的排列算式,則會未來的數學學習打下好的基礎。

 

概念1:併式為什麼要是"從左而右進行計算" ?

與其對孩子們宣稱"從左而右進行計算"是四則運算的規則,

我倒覺得讓孩子產生需求感會讓他們更能理解這個規則的重要性。

而這樣的需求在連加與連減併式中並不明顯,

反倒是加減併式時,就會因解題策略的差異而出現。

 

以下題為例:

2017-11-08_131611

也會出現有孩子是先算飛來的和飛走的隻數差,然後再加上原來的隻數,

那麼算式紀錄就應該是 64-28+253=289。

換言之,如果沒有算式要從左而右進行計算的規則,

記錄成253+64-28=289,

就無法從算式中理解解題者的想法了。

 

有趣的是,

像這類題目,也會出現教另一個四則運算規則"括號要先算"的學習契機,

如果不要更改算式,但是想要讓他人理解,是先算64-28,

那麼使用括號做記號,就可以輕鬆表達,253+(64-28)=253+36=289

 

但是更好可以臨門一腳教會括號在四則運算中的符號意義,

就是在連減併式的時候。

2017-11-08_132341

有的孩子會很自然地想先算出賣出的總數,然後再相减

136+72=208

250-208=42

而有這樣想法的孩子,就會立即出現無法併式的困難,

或寫成 250-136+72,讓人以為要先算250-136,而造成很大的誤會。

所以,在面臨這種狀況時,我是不會要孩子捨棄他的原始解題策略,

而是會該支持他的想法,順勢介紹在算式中括號所代表的數學意義,

也就是四則運算的第二個規則~"括號內的算式要先算",

讓孩子懂得可以併式成205-(136+72)來表達他的想法。

 

概念2: 從併式中理解"等號"的數學意義

孩子們在併式的時候,一開始是利用直式計算,然後直接在等號後面寫答,

例如: 20+32+15=77

可是在題目變複雜又需要併式時,2017-11-09_110358

就會出現如下的錯誤表徵:

147+35  = 212+147 = 359

我認為老師可以把握這個好時機,去讓孩子重視等號的數學意義,

而不是將它當作表示算式方向的箭頭來使用

為未來學等量公理概念奠基。

 

概念3: 理解"逐次減項"數學表徵的意義

逐次減項的表徵指的是

147+35+147

=212+147

=359

這樣的表徵會讓孩子清楚經驗到即使是併式,

你的數學想法依然是有順序性的,可以看出你先算什麼,後算什麼,

也會再度強化"算式要從左往右計算"的概念。

 

對大人而言,這樣的算式表徵很容易理解,也不會出錯,

可是對9歲的孩子來說,這樣的寫法以前沒見過,有點奇怪,

如果老師沒有處理好,

很常會看到孩子寫成

147+35+147=

212+147=359

 

所以,為了讓處在具體運思期的孩子可以快速接受新的表徵,

我是讓孩子將算式看成一條繩子,

而折起來的繩子會更節省空間、容易閱讀。’

P1050056

但請不要想太多,認為孩子可能會因為這個譬喻而認為算式該寫成

147+35+147

147+212 =

=259

畢竟如果真的這樣寫,寫的人痛苦,看的人更痛苦吧! :P

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2017.11.03 老師的痛點之三~孩子為什麼常常看錯或看不懂題目呢?

* 不要再為了讓孩子走"解題捷徑“,而剝奪了他們淬鍊思考力的機會

P1050049

我們來逐一檢視下面的題目,想想為什麼總是有些孩子會出錯。

類型1:

P1050045 P1050044

 

這類題目是很簡單的乘法題目,問題倒不是出在不會算,而是寫答案時的單位該放什麼呢?

有的孩子被教導(也許是老師、也許家長教的),數學題目寫答案的單位就是看題目的最後一個字。所以左邊那題最後一個字是"片",所以答案是"2160片";而右邊那題最後一個字是"少",這回孩子遲疑了,沒聽過有282少,所以就來問這題的單位是什麼。

P1050055

也有孩子看到上面這個題目,考試時就很疑惑的提問,答案的單位是"錢"嗎?

 

而在下題,應該是小丸子比較多,題目上不是說"比小玉多了238張"嗎?

P1050050

但有不少孩子將左邊這題寫成610+238=848,各位覺得為什麼會出錯呢?

就是那個"多"字惹的禍,

不少孩子被教導認為看到"多"或"共"就是加法,"少"或"差"就是減法,

唉!  斷 “字" 取義這種捷徑真的不可行啊!

 

 

此外,我們的孩子也常因題目做太多了,就開始囫圇吞棗,自作聰明…….

2017-11-03_092801

結果,不少孩子寫6+1=7,認為有7個孩子去郊遊。

不知是因為"共6個人"的"共"字又誤導了他們,

還是這回聰明過了頭,不相信題目上的"共6個人",

只相信以前做這樣文字敘述的題目時,就是別忘了要把自己也加進去,

所以一定要加進去才能安心啊!

 

然後,又因為數學都是單元式的教學,因此若此單元為乘法,那就不用思考,

把題目中的數字乘起來便是答案,更有怠惰思考自作聰明的,就按照題目中數字出現的順序來相乘(如下方左下角的解法)。其實答案是會對的,因為乘法有交換律,

但算式中的數學想法就是胡說八道了!

P1050051 P1050052 P1050053 P1050054

 

還有一種對數學題目的錯誤迷思,就是認為只要出現在題目中的數字,

就一定要用來解題,請見 http://163.19.142.4/wordpress/?p=259

 

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大家常說,不要壞了孩子閱讀的胃口,

我也要大聲的說,給孩子時間去慢慢養成讀題的胃口吧!

不要讓孩子贏在起點,卻輸在終點!

 

低中年級的數學題目,其實語意都不複雜,

這是去訓練孩子讀題、審題的最好的時機。

大人們千萬不要便宜行事,直接教孩子看關鍵字走捷徑。

那麼表面上這個題目寫對了,但不讓孩子去從語文中領悟到數學在真實語言中真實樣貌,

日後到了高年級,再怪罪題目敘述太長,導致看不懂題意,

這樣不是本末倒置嗎?

高年級題目的敘述會複雜化,是因為知識更廣博,

而題目必須精準表達要問的問題,並提供足夠的資訊讓孩子去判準、思辨,

所以題目會變長是很正常的事,不是嗎?

 

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