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不妨去翻翻我們寫的書"暢所欲言學數學“(心理出版社),

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發表於 教學現場 | 發表迴響

2019.04.01四年級~垂直與平行(認識四邊形的重要奠基概念)

對孩子們來說,對"垂直"和"平行"的判定通常都是採直觀來決定的,

但在數學上,"垂直"和"平行"卻是十分嚴謹的概念,

它們是理解四邊形數學性質以及面積計算的基石。

(範例可見 http://163.19.142.4/wordpress/?p=2955 )

 

課本(康軒四下)中對於"垂直“的定義是

~ 當兩條直線相交的夾角是直角時,

     我們說這兩條直線互相垂直。

孩子們的先備經驗已理解直角的定義,

但還缺少一個重要數學概念去理解"垂直",

那就是"直線“。

  • 直線:是一條筆直的線,會向兩端無限的延長。
  • 線段:是直線的一部分,它有兩的端點,不可以向兩端無限的延長。

如果孩子們都要眼見為憑,不能進行有關"直線"的抽象思考,

那麼對於下面這樣的問題,就會百思不得其解。

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相對的,在學習"平行“概念時,

孩子們除了要能理解兩平行線是無限延長、永不相交的之外,

還要察覺同時垂直於兩平行線的線段是無限多個且永遠等長,

因此也就是兩平行線之間的距離。

 

但難就難在,如何讓孩子們能自然察覺到"平行"的數學性質呢?

因此,自編的"星界傳說"就是我的法寶了!

教學案例請見

http://163.19.142.4/wordpress/?p=375&fbclid=IwAR1KEO3Lb7jU6pR9hrWL8tyr3ecu5FuQR5b4koNEkIsSlaPLKze9A-CJ6Uw

完整檔案請連結至雲端下載 https://drive.google.com/file/d/1KoCardJVdpzxf_gdq_7nLvtHe84fiQNt/view?usp=sharing

只不過今年我做了一點微調,

展示到這張投影片時,

平行線9

我便停下來,直接要孩子們自行根據故事來設計合適的鐵軌設計圖,

然後再利用電腦上的鏡頭快速讓全班討論,

那些設計圖是可以讓四輪的車子通過安全無虞的,

讓他們在討論中察覺到鐵軌間的"枕木"具有等長且垂直於鐵軌的特徵。

以下是孩子們的部分成品:

(29的孩子中,只有8個孩子的設計通過全班審查,

被認為車子在那樣的鐵軌上行駛是不會翻覆。)

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然後才讓孩子們依據要求再畫一張設計圖。

2019-04-01_151753

 

孩子們在畫的時候,

很快就察覺到要讓鐵軌間的枕木都是3公分是要動腦筋想的,

最後進行全班討論,確認該依據怎樣的步驟才能畫出符合"設計規範"的圖。

 

策略1:

1.畫一條直線A。

2.利用三角板畫一條3公分的線段B,並垂直於直線A。

3.利用三角板畫一條直線C,垂直於線段B。

4.然後就可以在直線A和直線C之間畫出其他3公分的線段。

 

策略2:

1.畫一條直線A。

2.利用三角板畫一條3公分的線段B,並垂直於直線A。

3.利用三角板再畫一條3公分的線段C,也垂直於直線A。

4.然後畫一條能連結線段B和線段C的直線D。

全班討論到這裡時,

我問孩子們:"你們認為如果再畫一條線段E同時垂直於直線A和直線D,線段E會是3公分嗎?"

全班親手操作過後,發現真的都是3公分。

到此為止,孩子們已察覺到我希望他們知道的平行線數學性質了,

接下來就是把故事說完,

待明天去定義"平行線"後,再引領他們做更多的深入探討了!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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2019.03.22四年級~分數 (兩數相除用分數來表示)

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2019.03.18四年級~等值分數到解題策略多元化

發展多元的解題策略,

不僅能發展孩子們的數學評析能力,

也能促進孩子們連結不同數學知識的能力,

可以一舉兩得喔!

 

四年級課本上有關分數學習的教學安排如下:

39491

 

108.03.15(五)

在上完活動一"等值分數"及活動二"簡單的異分母分數比較"後,

布了在活動二的最後一題(如下)

2019-03-18_131509

我希望能用此題測試孩子們的數學知識彼此相互連結的狀況,

並不想將數學評析能力成為此題的教學目標。

因此,解題前的指導語是要孩子們試著想出不同的解題策略,

然後在小組討論依序解說自己想法後,再將小組產出的所有解題策略寫在一張白板上送出。

P_20190315_094051

 

然後為了將眼前眼花撩亂的解題策略進行討論及分類,並測試孩子們的理解程度,

因此,用抽籤的方式,讓被抽到的孩子自行上台選一個解題策略來說明,

在全體確認解說無疑問後,就將各組中相同的解題策略做上記號,

最後共出現6種解題策略。

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解題策略1: (利用擴分來比大小,但孩子們並不懂數學名詞"擴分",只是試著讓分母相同)

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解題策略2: (利用約分來比大小,但孩子們並不懂數學名詞"約分",

只是從擴分找等值分數時,

察覺到因為"乘除互逆",可以將分子和分母同除一數後依然相等)

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解題策略3:  (利用通分來比大小,但孩子們並不懂數學名詞"通分")

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解題策略4: (利用某一分數為基準,來比大小)

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解題策略5: (將分數轉換成小數來比大小。

下一個教學活動才是"分數和小數的互換",

但在先備經驗中已知 0.1 = 1/10,

而在孩子的說明中,是從 2/5=4/10=0.4 這樣的路徑去轉換成小數,

所以基本上他們並無困難去發展這樣的解題策略。)

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解題策略6: (理解分數的意義,進行分數語言和單位的轉換)

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108.03.18(一)

因為上週五已出現利用分數轉換成小數的策略

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因此在進行今日課本布題目並無學習上的困難,

 

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決定不進行題目3和4,而將題目改成

“小丸子說: 0.6 =6/10,

所以,0.85=85/10  。

請問小丸子的想法對嗎? 請說明你的數學理由。

 

七組的共識如下:

P_20190318_100026 P_20190318_100038 P_20190318_100106 P_20190318_100110  P_20190318_100219 P_20190318_100932

 

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(紅字部分是全班討論後追加的內容。)

 

從小組到全班的討論中,

可以清楚看到孩子們利用舊經驗及新習的數學知識的學習軌跡(分數、小數、位值概念),

穩固且連續,真是太棒啦!

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2019.02.19四年級~整數四則運算到解題策略多元化的訓練

待孩子們習得三個重要的四則運算規則,且理解這三個規則之間存在的順序性之後,

此時,正是訓練解題策略多元化的好時機!

 

“條條道路通羅馬",

隨著孩子們的數學知識日益豐富,

本就該鼓勵孩子們去嘗試挑戰多元的解題策略,

一來可以讓孩子們經驗到各類"數學知識"之間是如何互通有無;

二來唯有讓解題策略多元展現,

數學的評析能力才會"有感"而生,而不是因為"老師是說這樣算才是好";

三來數學素養也會因思考的面向多元而蓬勃發展。

 

如何讓孩子們不自覺的開始思考多元的解題策略呢?

在我們的數學課室討論時,因為尊重每一個孩子的學習時間差,

因此在個別解題時,常會有孩子會先解題完畢而進入等待狀態。

以前,我都會叮嚀這些已完成解題的孩子,

要利用等待的時間回到題目檢查算式,並在心中思考在討論時要如何說明自己的想法;

現在,我則開始鼓勵這些已完成解題的孩子,

若確認解題的策略正確後,可以開始思考還有沒有其他解題策略。

 

要提醒教學者的是,並不是每一個題目都可以進行這樣的解題前指導語,

而此時的四則運算學習正是個好契機去開始這樣引導孩子們。

 

以昨日課堂發生的學習狀況為例,簡記如下: (康軒四下)

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T: 解題結束後,若認為認解題的策略正確,可以開始思考還有沒有其他解題策略,

也許方法不只一種喔!

 

(以下是小組送出的共識)

解題紀錄1:     36 + 585 ÷ 15 = 36 + 39 = 75

解題紀錄2:     585  ÷  15 + 36 = 39 + 36 = 75

解題紀錄3:      36 +( 585 ÷ 15)= 36 + 39 = 75

 

T: 請問這3個解題紀錄都對嗎?

S1: 都一樣! 都是先算出585個是幾箱後,再和昨天的36箱相加

T: 可是算式都長得不一樣,是依據哪一個四則運算規則來運算,所以結果一樣呢?

S2: 解題紀錄1和2是依據"先乘除後加減",所以都是先算585  ÷  15 。

S3: 解題紀錄3是依據"括號先算",所以也是先算585  ÷  15 。

T: 所以,3個解題紀錄是幾種解題策略呢?

S們: 一種

T: 沒錯!它們都是先算出今天採收了幾箱,然後再算出今天和昨天共有幾箱。

但這個題目還有其他的解題策略嗎?

(無人提出)

 

T: 可是,老師有看到有同學的算式是這樣紀錄的

15 ×  36 + 585 你們覺得如何?

S4: 這樣算出的會是今天和昨天共採收了多少個哈密瓜,所以不對!

S5: 可是再除以15就可以算出箱數了啊!

T: 有道理喔!

那算式要如何寫呢? 大家想想看!

(小組討論後)

S6:  (15 ×  36 + 585)÷  15 = (540+585)÷  15 = 1125÷  15 = 75

S7: 那可以寫成  15 ×  36 + 585÷  15 嗎?

T: 以四則運算的3個規則來思考,大家覺得呢?

S8: 因為"先乘除後加減",所以 15 ×  36不會被除以15,一定要加上括號才行。

T: 看到大家點頭,應該就是同意S8的說法了!

那老師想問你們,這是一個新的解題策略嗎?

(小組討論後)

S9: 因為是先算出今天和昨天的所有顆數,然後再算出箱數,所以是一個新的解題策略。

T:  36 + 585 ÷ 15  和 (15 ×  36 + 585)÷  15 這兩個解題策略,都可以順利算出75箱,

但哪一個你們比較喜歡呢?你的理由是?

S10: 我會選36 + 585 ÷ 15 , 因為計算不容易出錯,可以算得比較快。(獲得大家的贊同)

 

後記:

經歷了昨天的解題,今日進行減與除的混合計算題時,

就有孩子解題完後,自動開始思考並寫下可能的第二種解題策略。

只要老師持續提醒孩子們去挑戰自己解題的可能性,

且不厭煩的去展示不同解題策略的樣貌,

並連結相關的數學知識去支撐合理的解題策略,

孩子們就會相信他們是可以去挑戰並有機會做到的,

持之以恆相信他們的數學視野會是不一樣的。

 

 

 

 

 

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2019.02.11四年級~整數四則運算(3)

今天是本學期開學第一天,也是數學課的第一堂課,

本以為這群孩子會死氣沉沉,呆如木雞,

沒想到竟讓我們彼此享受到一堂很愉快的數學課,

且讓我簡記如下。

 

ps. 當我們能為孩子們奠定穩固的知識基礎,

並允許、尊重孩子們的思考及提問,

就會發現老師只要follow他們的思緒去提燈引路就行了!

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2018.12.22五年級~線對稱圖形到聖誕雪花裝飾

孩子們在學線對稱圖形基本上是沒有很大的困難,

唯一要小心的就是,

在推理圖形中對稱軸的數量時,

容易忽略圖形本身是可旋轉,

不可僅從單一方向來進行判斷!

 

剪紙是民間傳統活動,

在孩子們的經驗中,早就懂得將正方形色紙進行不同折數的對折後,

再用剪刀剪去部分色紙,打開後就會形成各式各樣的紙花!

這樣的教學在很多網站都可找到,例:

https://kknews.cc/zh-tw/news/59vqeal.html

 

但如何將數學中的對稱軸學習和剪紙活動進行結合,

讓孩子們從創作美麗的圖案同時,不知不覺中也在學數學呢?

 

我有一個教學點子和大家分享,

就是用"倒退嚕"的方式來剪窗花。

 

1. 依序呈現對稱軸為1個和2個的剪紙圖形

(如果要挑戰對稱軸是3個以上,最好圖案越簡單越好,

因為複雜度變高,也有可能使教學反被卡住喔!)

 

2. 要預先將要剪的圖案印在學習單上,方便孩子們觀察,

並和孩子們討論,要如何才能剪出一樣的圖形。

 

3. 先展示一個對稱軸為1個的剪紙圖案,讓孩子們去試著剪出相同的圖案,感受到"對稱"的存在。

images (1)       images (2)

 

4. 然後再出一個對稱軸乍看之下是2個,其實是4個的窗花題目,看看孩子們是否能順利剪出,

並進行相關的討論。

此時的討論十分重要,要引導孩子們懂得要先在圖形上找出對稱軸,

然後,盡量讓孩子們先去操作實驗(剪紙),

再利用小組或全班討論,來得到可能的破解剪法SOP。

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5. 接下來,就可以由老師來指定對稱軸數目,讓孩子們來自創窗花圖案,做為教室布置的素材。

(究竟正方形色紙的折數和對稱軸數目有何關係的討論,

可視孩子們的需要來做適時的討論。)

 

進階版:  (立體雪花裝飾製作,使用雙面色紙或全白色色紙皆可)

1. 正方形色紙對摺成三角形

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2.再對摺成更小的三角形

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3. 以最長邊為底,畫出三角形的高,並在高上畫出"中心點"

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4. 從三角形高上的中心點畫出如下的線條

P_20181222_133438

 

5. 再各在兩邊畫出接近等距的兩條不相交的弧線

(若是色紙面積更大,則紅色弧線可以以雙數來增加數量)

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6. 剪開並剪斷

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7. 剪開不剪斷

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8. 打開色紙,在色紙中心點塗上膠水,然後如下圖般向內摺後黏貼。

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9. 做出兩個不一樣顏色的雪花後,背對背交錯黏貼在一起,就完成了喔!

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教室布置成品:

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聖誕快樂!    (感謝本校高月蓮老師分享的耶誕雪花好點子!)

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2018.12.14四年級~整數四則運算(2)

在前些時日上傳的一篇文章中,有和大家分享有關四則運算教學要關注的地方。

http://163.19.142.4/wordpress/?p=2950

那時會整理那些資料的原因,

是因為有位老師透過FB和我聯繫

2018-12-14_113214

 

其實,當時我並沒有完整回答那位老師全部的問題,

那時,他問了一個很關鍵的問題: “學生會不知道什麼時候要括號,什麼時候不用括號。"

 

今日趁天寒,心緒冷靜之際,就來說說我對這個問題的想法好了!

 

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也因此,當學生能依四則運算的三個約定算出答案,

卻不能依題意決定如何應用三個約定來列算式(是否該加括號?),

這個警訊就代表學生從題意轉化成多步驟解題的訓練是不足的,

這也是為什麼,之前一直強調要讓學生回到題意去說明自己的算式意義,

這種基本功若沒有在從二年級到五年級的學習歷程中,

時時去挑戰及要求學生做到,

那麼學生最終也就只能在裸題(計算題)時會計算出答案,

卻無法將題意用併式並使用正確的數學表徵來表達自己的解題想法,

那麼未來的代數學習就會岌岌可危了!

 

有些學習是錯過就很麻煩,

要想再補救,真是花雙倍的力氣也未必能救回來,

所以,身為老師的我們,真的要多份心思去了解教材,

才能讓孩子在學習中,一直無懼迎風而行!

 

 

 

 

 

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2018.12.08五年級~幾合圖形的面積(2)

在網路上看到這個有趣的題目,因此就整理了一下其中的解題想法,和大家分享!

 

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2018.11.28五年級~幾何圖形的面積(1)

前幾天有機會去觀看大五實習老師的五年級梯形面積教學,使得我突然間有股衝動想去整理一下這些四邊形面積教學的教材脈絡,而今天終於完工了!

其實條條大路通羅馬,老師的教學越能貼近學生的需求,師生彼此都會能感受到學習本身的趣味喔!

下面是之前曾記錄在部落格的相關文章,
也一併供大家參考!

發表於 五年級, 幾何, 教學技巧 | 發表迴響

2018.11.22四年級~整數四則運算(1)

四則運算的併式學習,在中年級的數學學習中,具有提升數學表徵能力的重要地位。

不論108課綱將會如何分布四則運算的併式學習在中年級,其基本的教學順序依然是不會變的。

嘗試著將四則運算併式及三個運算規則的教學重點進行整理,希望能幫上大家的忙!

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