2017.03.22六年級的故事~複合形體的體積

今天是其他老師入班觀察的日子,不過,對孩子們而言也習以為常了!

布題:

2017-03-22_163003

 

在教學前我對孩子的解題策略預測,認為就該是兩類:

策略1:先分別算出長方體和中間空心部分的體積,然後相減。

策略2: 先算出方形空心塑膠管的底面積,再乘以柱高。

 

教室觀察20170322_170322_0030

 

教室觀察20170322_170322_0015

結果除了意料中的兩種策略之外,還出現了另外兩種(解題策略3和4):

解題策略1:

20170322_161100[1]

解題策略2:

20170322_162356[1]

解題策略3:

20170322_161236[1]

解題策略4:

20170322_162130[1]

 

怎麼會出現策略3和4呢?

這就得回溯到六上數形規律的學習(請見: http://163.19.142.4/wordpress/?p=1821)

可以從孩子們的解題紀錄中,清楚看到學習遷移的過程,真是太棒了!

 

但仔細想想,其實解題策略3和4應該同類的策略,

也就是切割柱體之後再分別算出總體積。

 

因此今日的教學共產出3種解題策略:

策略1:先分別算出長方體和中間空心部分的體積,然後相減。

策略2: 先算出方形空心塑膠管的底面積,再乘以柱高。

策略3:切割柱體之後再分別算出總體積。

 

之後的教學後會議中,觀察的老師分享了一個在小組討論中出現的迷思概念(如下)

20170322_163851[1]

孩子誤以為厚度1公分會影響到柱高,所以認為柱高30公分也要減掉2公分才行。

 

教學會議後檢視全班的解題紀錄,也發現在原始紀錄中共有3個孩子如此解題,

我想這是個在全班都理解此題概念後,可以再開啟另一個討論重點的機會,

因為接下來的布題便會是

2017-03-22_163938

所以,明日上課我要先從這個迷思概念開始,

讓全班孩子一起來看看出了什麼問題,

重點是要引導孩子如何從視圖中看出柱高並未受影響,

看出之後,再輔以實物來佐證,

讓程度低的孩子也能確實理解。

相信這樣做之後,會在解下一題有底無蓋的圓柱容器時,

會是一個很不錯的奠基活動!

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2017.03.02六年級的故事~時間單位的換算(速率)

終於進入六下了,也是收割的季節到了,

可以好好檢視孩子們在過去的小學學習中,

數學知識的穩固性究竟如何了!

 

今天是進入速率單元的第一節課,

當然,要先處理日和小時之間的單位換算。

對孩子們而言,單位換算並不難,

但當題目是分數或小數時,是否會產生解題上的遲疑?

以及,究竟是如何理解換算方式,是我今天上課的關注焦點。

 

布題1:

9小時=(      )日

 

孩子們倒是很快就寫出 9 ÷24 = 9/24 = 3/8

 

布題2:

5/8日=(      )小時

 

孩子們的解題策略就開始不一樣了,共有下面3類。

2017-03-02_112356

這三種解題策略呈現了孩子們數學舊經驗的樣貌,

當然他們上台說明自己解題策略所依據的數學知識也完全難不倒他們!

問題是,到了六年級,孩子們要懂得選擇有效策略來解題,

也就是要更進一步的發展數學評析能力。

 

因此,接下來的教學策略便是如何使孩子們產生需求性去選擇有效的解題策略。

我(汝琪老師)問孩子們:

“我要如何改題目上的數字,會使以上都行得通的三種解題策略,其中有部分會行不通?"

 

很快的就有孩子提出要改成3/7日,他的理由是因為7不是24的因數,

因此解題策略3會失效。

接下來也有人說,解題策略2也會發生問題,

但有人不表同意,所以當然是要大家一起來檢視一下才行。

24÷7×3 雖然7除不盡24,但依然可以用24/7來表徵,

最後依然可以算出答案,只是寫算式上要多一層算式而已!

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我常拿畫畫時選色來比喻解題時對解題策略的選擇,

基本上只要選擇有效的解題策略就可以迅速且正確的解題,

可是我依然要重申一個想法,

所謂的"有效"是主觀的,且關乎解題者的數學舊經驗狀況,

所以不建議強求孩子們用那一種解題策略,

但是提供學習機會去讓孩子們理解這些策略之間的差異性是老師的責任,

剩下來的就是孩子們依其自主性去做選擇了。

 

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2017.02.01倍數的概念 ~ 5×9 = 9×5 嗎? ( 整數倍與分數倍)

20170112中天新聞  (www.youtube.com/watch?v=EiHopZo9BSM)

 

學期快結束前,在吃早餐時,看到了這則新聞,

感受深刻!

還好到了學校,將這則新聞播放給學生看,他們才剛看到題目時,

就異口同聲的說:"5個9當然是9×5,因為就是9連加5次啊!"

 

數學是門非常有邏輯性的領域,

它不像語文領域,是感性與知性的交融,所以有些時候是沒有唯一的解,

端看你是從那個角度來看。

但我(汝琪老師)覺得數學則是個知性十足的領域,它之所以能有唯一的解,

是因為數學是邏輯建構的結果,從簡易到繁瑣,

但抽絲剝繭之後,便可見到層層相扣的緊密性,

也因此,對我而言,數學的美便是在知識建構之間所呈現的奧妙之美,

只可領會,難以言喻!

 

所以,在建構數學知識時,

無論是數學概念或數學符號,

皆須嚴守數學定義,不可擅自作主,

不然,數學算式就會無法與人溝通,

數學想法也難以呈現。

 

再回到那則新聞,

以結果論來看,當然9×5 和 5×9 都是 45,的確沒差別。

但以乘法的概念來看,數學算式的9×5是等於9+9+9+9+9(5個9),

而 5×9 則是 5+5+5+5+5+5+5+5+5 (9個5),

因此,5個9和9個5在語意上就出現明顯的差異性,不是嗎?

 

也許看到這兒,你也許開始納悶想,

即使在語意上出現明顯的差異又如何,

反正我們要的是結果45,然後拿45這個數字為解或繼續算下去,

哪會有任何差別呢?

 

以低、中年級的數學學習結果來看,的確沒有差別,

而且乘法又有交換律,還不是一樣!

但任何知識的建構都是從簡入繁,

以 9×5 為例來布題,

 

一枝棒棒糖9元,買5枝棒棒糖要多少元?

9×5 = 45    (= 9+9+9+9+9)

9是被乘數(是有單位量的數),5是乘數(也就是倍數),

因此 9×5 的算式意義是 9元×5倍(9有5個),絕對不是9元×5枝的意思。

 

所以以此題來說,算式一定要寫成9×5,

但在計算時,如果寫成 9×5 = 5×9 =45,

則會被理解成,在第一層算式時,解題者已表達出對題意的理解,

而在第二層算式時,採用了乘法交換律來算出答案。

 

如果將這正確的乘法倍數概念深植於中年級數學習習中,

那麼到了高年級的乘法分數倍學習,就會容易的多了。

 

分數倍之所以讓孩子們不易理解,

是因為之前的倍數學習都是乘以整數倍,所以越乘答案越大。

但是對於乘以小於1的分數時,卻是越乘答案越小,

到底是為什麼呢?

 

孩子們的舊經驗是

8 × 3 = 24  (8有3個)

8 × 2 = 16  (8有2個)

8 × 1= 8     (8有1個)

8 × 1/2 = 4   (8有1/2個) ,也就是8 ÷2 的意思,

以分數概念來看,把一個8分成2份,拿其中的’1份,也就是 8÷ 2×1 。

 

以此類推,要理解 8 × 1/4 和 8 × 3/4 也就不難了吧!

 

最後證明整數分數倍乘法的規律是,整數乘以分子,除以分母。

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2016.12.23六年級的故事~圓面積的應用(3)

今天共花了兩節課才順利將此題的策略說明白並寫清楚,

孩子們因為有了前一節的經驗,

因此在圖示的表徵上並沒困難,

可是,因為此題較複雜,

所以,在理解孩子們原始的解題策略後,

老師也展示更清楚的圖示表徵給孩子們看,

並讓他們整理到數學筆記上,

以提升他們的表徵能力。

 

今日布題:

此圖是由4個1/2圓構成,求紅色部分的面積。

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解題策略如下:(上方為孩子們的原始表徵,下方為老師的表徵。)

解題策略1:

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解題策略2:

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解題策略3:

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解題策略4:

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解題策略5:

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解題策略6:

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解題策略7:

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解題策略8:

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很訝異孩子們出現這麼多元的解題策略,

但也許孩子們本就會這麼開進行開放的多元思考,

是我們大人們沒耐下心讓他們知道,

我們會想知道,且會欣賞他們是怎麼想出來的,

所以他們就滿足於用課本的標準方法來算出答案就好,

不再勇於打破標準方法的框架了!

 

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2016.12.22六年級的故事~圓面積的應用(2)~多元的策略要多少才夠呢?

如果您認同發展多元解題策略有其必要性,

讓究竟要發展到多少種策略才夠呢?

原則上,

這還是要回到孩子的身上來思考,

要分析自己班上的孩子數學理解程度到哪個階段,

不要為了發展多元策略,而以一股腦的全都教。

以本題來說,

dsc01397

 

本班在上課時,策略2是孩子們沒有發展出來的。

可是我們是可以藉由策略2發展更高階的空間幾何感,

且發展好這個抽象空間概念,可以為下一個布題做很好的奠基,

而根據我對自己班上孩子的理解,

應該二分之一以上都可以在我展示這個解題策略後,自行合理解說理由。

 

而最後也證明,孩子們絕大多數都能理解到自己沒想出的這個解題策略,

且還想出的兩個能合理解釋的方法:

 

1. 兩個1/4圓重疊後,橄欖型的黃色面積(橄欖面積)被多算了一次,

所以剪掉正方形面積就是橄欖面積。

 

2.將一個1/4圓分割成一個直角三角形和一個1/2橄欖型的黃色面積,

所以

1/4圓+ 1/4圓

=直角三角形+1/2橄欖面積+直角三角形+1/2橄欖面積

=正方形+一個橄欖面積

 

但別忘了,還有一小部分數學力較弱的孩子,

因此,在小組討論與全班討論後,

我(汝琪老師)利用連接電腦的攝影機,

操作教具,一步一步的讓孩子們看到這兩個策略是如何出現的,

這樣對於下一題的奠基活動就圓滿完成了!

 

 

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2016.12.22六年級的故事~圓面積的應用(1)-要發展多元策略嗎?

每回到了六年級,總是會和這個布題相遇,

(可參考http://163.19.142.4/wordpress/?p=516)

布題:此圖由2個1/4圓構成,求下圖中黃色部分的面積。

2016-12-23_163831

 

這次帶的班級共產出四種解法,因此當日的回家功課,就是要他們將解題策略以圖畫的方式表徵出來。結果如下:

dsc01397 dsc01398

 

有學校的老師問,

有必要去發展多元的解題策略嗎?

 

 

發展多元策略的目的,不是為了解題而已,

更重要的是,打開孩子們思考的框架,

刺激他們的推理思考能更靈活。

 

不管是能寫出一種以上解題策略的孩子,或是能確實理解他人各種解題策略的孩子,

他們都必須去歸納與演繹自己已習得的數學知識,

才有辦法寫出或理解多元的解題策略,

換言之,

孩子們會更能自信的解決數學問題,

因為理解了"條條道路通羅馬"的道理。

 

而在全班討論的過程中,他們便會在老師引導下,不自覺的內化統整知識,

最終,便會更有自主性的選擇要用哪一條道路來通到"羅馬",

這就是數學評析能力的發展,

當心中能進行多元思考時,

解決問題的能力就會同時被提升,

不管題目如何變化,

依然能擁有"兵來將擋,水來土掩"的解題自信了!

 

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2016.11.23六年級的故事~比與比值(相等的比2)

今天是教室觀察的日子,

被觀察的年級是六年級,

今天是要進行比與比值教學教學的第三堂課,

想利用今日的布題,引出使用最簡單整數比的需求。

 

布題:

沛承用1/2杯的紅茶和2/3杯的牛奶調成紅茶拿鐵。

奕嘉用同樣的杯子,將0.6杯的紅茶和0.8杯的牛奶調成紅茶拿鐵。

他們調出的配方一樣嗎?

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在解題中,絕大部分的孩子都順利發現兩人調出的配方是一樣的,

他們採用的策略不外乎是將小數或分數比,轉換成整數比或比值來進行比較。

但有趣的是,有幾人寫出類似於下面這張的解題紀錄,

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孩子們雖然覺得怪怪的,但又無法說出錯在哪裡,

這是很典型的迷思概念,

孩子們被分數迷惑了,

而沒有發現30/60 : 40/60 = 3 : 4 ,或 30/60 ÷ 40/60 = 3/4 (比值)

36/60 : 48/60 = 3 : 4,或  36/60  ÷  48/60 = 3/4,

可見最簡單整數比,和養成好習慣將比值寫成最簡分數是有必要的,

這樣量感才會正確建立。

 

 

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2016.11.23六年級的故事~比與比值(比的應用2)

昨日的數學日記全班共28人,有8人完成證明。

在這次的數學日記中,

事先強調要挑戰自己,不要求教於大人,就算寫不出來也沒關係,

並刻意讓孩子們自由選擇要用數字或代數來證明,

那是因為這不是第一次他們進行論證活動,

但有些孩子可能還是對代數感到不安全,

所以,給予選擇的自由權,讓他們能在安全無壓力的氛圍下進行推理思考。

 

在完成論證的證明式中,仍有部分瑕疵,

以下是完成證明的數學日記內容:(按下圖檔可放大)

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但在全班討論的過程中,

一步一步引導孩子們經驗以下的事,包括:

1.要察覺該利用等量公理(或擴分成同分母)的舊經驗來支撐證明式中的數學運算。

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2.要懂得保留證明結果中的必要數字,不然就看不出端倪了!

(在此和孩子們討論,該保留等號左邊的6還是右邊的6,以及保留的數學理由是什麼。)

不保留右邊的6,因為使用等量乘法的目的就是為了要讓4/6的分母消失。

要保留左邊的6,如果將左邊的分母3和6進行約分,

那麼最後要證明結果中數字2、3、4、6,其中的數字3和6就會消失了,

無法繼續證明。

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事實上,利用分數擴分成同分母的概念也可以完成論證。

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當完成了利用數字的證明,那麼再試著用代數來證明就會容易的多了!

(a、b、c、d為大於零的數)

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2016.12.22六年級的故事~比與比值(比的應用1)

今日布題: (康軒版)

用桶子裝水,水龍頭每3分鐘流出12公升的水,

20分鐘會流出多少公升的水?

 

解題紀錄如下:

解題1: 依題意先算出每分鐘的出水量,再算出20分鐘的出水量。

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解題2:在相等的兩個比中,前項與後項會產生倍數關係。

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解題3: 先化成最簡單整數比,再依前項與後項的倍數關係找出相等的比。

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解題4: 用內項相乘積等於外項相乘積來計算出答案。

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在行間巡視時,便在尋找是否有孩子用解題4的方式解題,

結果全班僅有一個孩子使用,經詢問後得知,

是安親班教的解題方式,但他也不懂為什麼。

 

其實,在國小階段高年級的數學學習中,

常受到家長或補習班所教的成人算則的干擾,

導致孩子們只能做表面解的運算,而非得到根本解的概念理解。

因此,在可能的情況下,我們會盡量引導孩子們去論證這些成人算則,

以讓孩子們理解"數的邏輯",提升推理思考能力。

 

換句話說,

如果,今日沒有孩子寫出解題4的策略,

我也會自行提出這樣的解題策略,

好藉機刺激孩子們進行推理思考活動,

讓數學知識的鍵結能更為穩固。

 

 

而在今日的課堂上,

孩子們並未有足夠的時間完成論證活動,

只猜想到也許可以用比值相等的路徑去試著證明。

因此,今日的回家功課便是一份數學日記,

結果如何,就待明天囉!

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2016.12.21六年級的故事~比與比值(相等的比1)

今天是上"相等的比"的最後一節課,

因此一上課就先藉由提問來確認孩子們對

“比"、"比值"、"相等的比"、"最簡單整數比"等數學名詞的概念。

之後就布了兩題分別將分數及小數的比化簡為最簡單整數比。

在解題的過程中,

發現一些有意思的事來和大家分享。

 

題目(採自康軒):

小御用1/2匙的醋和2/3匙的橄欖油做沙拉醬。

醋和橄欖油的最簡單整數比是多少?

 

其實,這題目不難,

但不少孩子遲疑了好一會兒才開始解題,

有兩個孩子的解法令人很難忽略,

他們是這樣寫的:

1/2 = 1  ÷ 2      1 : 2

2/3= 2  ÷ 3      2: 3

A: 1:2 和 2:3

 

因此, 全班討論一開始,

就先請孩子們檢視上面的算式,然後再提問。

結果,立刻有人舉手問說:"請問你1:2中,前項和後項的單位是什麼?"

此話一出,立刻有人笑了出來,因為都是"醋",

寫的人也立刻發現到自己的荒謬。

可見,分數的布題干擾到部分孩子們的解題,

當老師將題目數字改成整數,

小御用2匙的醋和3匙的橄欖油做沙拉醬。

醋和橄欖油的最簡單整數比是多少?

他們立刻說是2:3,那依原題意的數字當然是 1/2 : 2/3 囉!

 

接著在討論解題策略時,

也發現要將分數化成整數,

就要先將前項和後項各乘以兩個分母數字的公倍數(如果是最小公倍數更好),

就可順利化為整數了!

 

但更有意思的是,有孩子走"比值"的路徑來解題,

用這樣的方法來找最簡單整數比,也挺有效的喔!p1040957

 

下面是將小數的比化簡為最簡單整數比的解題紀錄,

僅將孩子們的解題策略及出現的計算迷思供大家參考:

正確解題如下:

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計算迷思如下:

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