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發表於 教學現場 | 發表迴響

2018.10.15四年級~認識三角形(二)

圖片1

上節課已將鈍角、銳角、直角三角形與正三角形命名完畢,

19021

今日一早先檢查了孩子們的回家作業,基本上狀況非常良好!

19186

 

接下來就是要開始引導孩子們以"邊長"來分類,認識三角形家族的其他成員。

 

理解~連結 階段

之前的7個小組共識,已解決的5個,

今天就從下面這張共識開始。

18981

三角形A在前一節課已命名為正三角形,

但孩子們也發現了正三角形不僅三個角都是60度,

且三個邊會一樣長,

所以又可以稱為"等邊三角形"。

 

T: 現在請你們細觀察三角形B、C、D、E,

有沒有哪一個三角形的邊長和其他的又有些不一樣?

S1: 三角形B有兩個一樣長的邊。

T: 是啊! 這個三角形也很特殊。

我們將學習單上的這個三角形順時鐘旋轉成這樣

2018-10-17_194718

因為它有兩條一樣的邊在左右兩側,像人有左半邊的腰和右半邊的腰,

所以這兩條一樣長的邊,被命名為"腰",

而這種三角形就被稱為"等腰三角形"。

也因為如此,最下面的邊稱為"底邊",

底邊和腰所夾的角稱為"底角",

兩個腰所夾的角則稱為"頂角"。

 

T: 有沒有發現等腰三角形的兩個底角是相等的?

這是一定會如此嗎?

請你們在學習單的背面畫一個等腰三角形,看看底角會不會相等?

70

(待孩子都畫完並確認底角真的相等以後)

當孩子們開始審視最後一張小組共識時,

18986

立刻提出異議,認為這樣的分類是看不出是依據什麼數學性質來分,

而且在分類前,我們也不認識正三角形和等腰三角形,

所以這個分類想法是有問題的。

(當然,這也是我為什麼將這張小組共識放在最後才討論。)

 

 

連結~擴張 階段

T: 你們知道嗎?其實三角形B還有一個不同的名稱,

因為這個三角形不僅是等腰三角形,

你的學習單上是不是還記錄著它也是直角三角形?

Ss: 對!

T: 所以,三角形B又可稱為等腰直角三角形。

19171

 

至此,所有三角形的命名介紹就全部完成了!

 

最後,在全班討論中引導孩子們歸納出以下結論:

1.正三角形又叫等邊三角形,又因為三個角都是60度,所以還是個銳角三角形。

2.等腰三角形的兩個底角的角度一定一樣,但頂角可以是個銳角、直角或鈍角。

2.一個三角形中,最多只能出現一個鈍角或一個直角。

 

ps. 教學完後,我察覺到應該在學習單上多加一個等腰三角形(三角形F),

這樣孩子們只要跟著課程

完成測量、觀察、紀錄,就會完全清楚這些三角形的命名原則了!

 

 

 

 

 

 

發表於 四年級, 幾何, 教學技巧, 教學現場 | 發表迴響

2018.10.12四年級~認識三角形(一)

在課本上的教材安排是

活動一: 認識三角形的角、邊和頂點

活動二:認識正三角形和等腰三角形

活動三:認識直角、銳角、鈍角三角形

 

但基於課室討論的理念,教材安排理念會依循如下的概念進行發展:

 

圖片1

 

此外,我們的課室討論的核心理念的是"以孩子的學習為中心“,

因此究竟在教學現場會走哪一條學習路徑到達最後的"擴張"階段,

就要看學生在學習現場所展現的學習需求及表現而定。

這話是什麼意思呢? 且待我慢慢描述。

 

【第一節課】

經驗~察覺 階段

先連結舊經驗,問孩子們三角形有什麼數學性質,

因為三角形是孩子一點也不陌生的圖形,

因此他們將對角(由兩條邊和一個頂點所組成)的數學概念自動遷移至三角形,

很快就回答說三角形有"三個頂點、三個角、三條邊"。

接著,

就請孩子們發表一下生活中,可以在那些物品上,看到三角形的形狀;

發表討論結束後,也順便展示一些圖形,和學生確認三角形在哪裡。

2018-10-12_113916

 

不過,在展示圖形的同時,還是要讓學生理解生活中雖然有很多三角形,

但絕大多數都是類似三角形,像三角飯糰、三角巧克力等。

他們與數學上所稱的三角形還是有差異的,

後來我們班就簡稱這樣的三角形是"類三角形"。

 

再來,真正的三角形就隨著發下的學習單上場了!

2018-10-12_113843

 

T: 現在請大家依據三角形的數學性質進行分類。

不可以說這全都是三角形,所以只分一類喔!

S1: (立刻舉手說) 可是全部的三角形就是三個角、三個邊、三個頂點,

那要如何分呢?

T: 真是個好問題! 所以呢? 三角形的角數一樣、邊數一樣、頂點一樣,

可是你看學習單上的三角形都長得不一樣,為什麼呢?

S2: 角度會不一樣!

T: 還有呢?

S3: 邊長也不一樣!

T: 嗯! 所以可以依據這些數學性質來分類嗎?

Ss: 可以。

T: 那就請大家拿出量角器和直尺來測量並分類,

並將你的分類理由及結果寫在白板上。

(學生分類中)

 

T: 現在請大家依照序號2-3-4-1進行分類結果的討論,

最後請在小組中選出一個大家都認同的分類(小組共識),

然後貼到教室白板上。

2018-10-12_160238

 

在下課時,就僅完成了七組的小組共識,

其他的就要等待明天的數學課了!

也許有人會認為,這樣的教學進度太慢了,

但事實上,若是我們給予正在具體運思期的孩子足夠的操作經驗,

反倒更能協助他們快速進入抽象思考呢!

 

【第二節課】

察覺~理解 階段

今天依上課就是要請孩子來分類,並說明分類理由。

S1: 我是將以"角度"和以"邊長"來分成兩類。(如下)

2018-10-12_160348

S2:可是左上角的那張分類並不是以"角度"來的啊!應該再分出一類。

(在全班的同意下,又出現更進一步的分類。)

2018-10-12_160421

 

所以現在全班的分類共識是三類。

 

(有時,"共識"這個詞會讓人誤解,認為那就是最終結果了。

其實,"共識"對我們而言,是在當時被大家所共同認同的,

並不代表是結束。

也就是說,

從小組共識到全班共識都是很有可能隨著後續的討論一直有依據的進行修正,

而最後在全班討論後確認不再有疑問的共識才是最終的結果喔!)

 

由於以角度來分類的小組居多,

看來先讓孩子們理解鈍角、銳角及直角三角形會比較好,

因此就先撤下另外兩類,

開始引導孩子去檢視那五組以角度來分類的內容,

看是否能在大家的檢視下獲得認同。

 

全班討論結果簡記如下:

1. 三角形無法畫出兩個鈍角,所以將"都是鈍角"修正為"有鈍角"。

Inked18984_

 

2. D有鈍角,所以D和E不該是一類。Inked18980

3. 分類混亂,有用形狀來分,又有用角度來分,最後建議分為有"一樣的角"和"沒有一樣的角"。

Inked18983_

4.這一組是最令大家匪夷所思的。經過該組的解釋,才知道原來他們只看圖形最左邊的腳來分類。但同學認為三角形有三個角,是必須都要考慮到才行,所以這組分類失敗。

18985

5.這組是唯一通過全班檢視後,挑不出問題的。

18982

 

因此,接下來就以這一組的分類來依序介紹三角形家族的名稱。

2018-10-12_113843

1.  介紹A是正三角形,因為它的三個邊等長、三個角都一樣大(60度)。

2. 先問孩子們 “一個三角形中,有沒有可能出現兩個直角?"

讓他們理解B和C都是由一個直角及兩個銳角所組成,所以被命名為"直角三角形"。

3.而D是鈍角三角形,很快孩子們就接受了。

4.剩下的E,三個角都是銳角,當然會命名為"銳角三角形"。

5. 再帶孩子們重新觀察三角形A,他們就發現,原來正角形,也是一個銳角三角形喔!

 

 

19021

 

上面就是下課前完成的成果喔!

回家作業是一張學習單,

請孩子們試著畫出今天學會的四種三角形,

並標示出每個角的角度(順便複習量角器的操作 )。

 

 

對我們而言,

孩子們的分類是否正確的唯一依據,就是分類的數學想法是否展現出正確的數學性。

而大家仔細看看孩子們的分類說明,即使不完美,

但也可以相信他們對這5個三角形已經有了更深層的認識了吧!

這就是當孩子們有了在經驗~察覺的階段有了足夠的浸潤之後,

接下來的理解 階段只是臨門一腳,難度不大。

至於接下來的 連結~擴張 就要等下週一的教學囉!

 

 

 

發表於 四年級, 幾何, 教學現場 | 發表迴響

2018.10.01四年級~整數乘法(多位數乘以多位數)

孩子們若乘法的概念穩固,就應該到此階段已充分了解被乘數和乘數之間的關係。

可參考 http://163.19.142.4/wordpress/?p=2009

 

那麼多位數乘以多位數的困難,

對孩子們來說,就不會在於知不知道是否該用乘法來解題,

而會是如何算出相乘過後的答案,以及乘法表徵究竟該如何寫了!

 

讓我們回到三上時,回憶一下孩子們是如何理解二位數乘以一位數的乘法。

P1050030

請見 http://163.19.142.4/wordpress/?p=2161

 

當時,他們大部分的直式表徵都會長得像這樣,有兩層的相乘結果然後再相加。

2017-09-27_132551

 

少部分的孩子會這樣寫,直接寫成一層。萬一需要進位,就在被乘數上面畫記。

2017-09-27_132608

 

 

現在到了四年級了,

一開始要學四位數乘以一位數,

這對孩子們來說,太簡單了!

因為三年級就已經學會了三位數乘以一位數了。

 

但在學四位數乘以一位數時,

我不僅要引導孩子理解並習慣用一層的直式表徵來表示,

17814

還有一個重要的數學規律需要開始引導孩子們理解,

舉例來說,

4*2=8

40*2=80

400*2=800

4000*2=8000

孩子們當然可以用位值概念來理解(400就是100有4個,乘以2倍,就等於100有8個),

也可以用直式輕而易舉算出答案,

但其實這裡的重點不是"答案",

而是是否能發現其中的"規律“,

也就是可以先不看被乘數後面的零,直接將無零的兩個數字先相乘,再將零補回來

 

通常,這也是第一次我開始正式帶孩子去發展用舉例去經驗"數學證明"的開始,

他們也會第一次經驗到數學律法的威力。

400*2

=100*4*2

=4*100*2 (使用乘法交換律)

=4*2*100(再度使用乘法交換律)

 

然後在教接下來的一位數乘以二位數之前,

還要再引導孩子們察覺到下面的規律

4*2=8

4*20=80

4*200=800

4*2000=800

也就是可以先不看乘數後面的零,直接將無零的兩個數字先相乘,再將零補回來

並試著舉例完成證明

4*200

=4*100*2

=4*2*100 (使用乘法交換律)

 

然後順便臨門一腳,

也和孩子們一起完成舉例證明,

400*800

=100*4*100*8

=4*100*100*8

=4*100*8*100

=4*8*100*100

=4*8*10000

並確認數學規律,

也就是可以先不看被乘數乘數後面的零,直接將無零的兩個數字先相乘,再將零補回來

當我和孩子們說,這個數學規律可以有效解決大數乘法的問題,

結果,立刻有提問說,

如果是幾億乘以幾億呢?

既然孩子們出招了,

我立刻在白板上寫了

1200000000000 * 9000000000000

=12*9*100000000000000000000000

在孩子的讚嘆聲中,

又有人提問了,

那如果大數中的被乘數和乘數都沒有零呢?

我只好忍住笑回答說: “那當然是拿出計算機來算啊!  哈哈哈!  "

 

 

看到這裡,也許有人開始納悶,覺得為什麼要這麼"多此一舉"去教這些規律呢?

其實這些規律很重要,

這樣才能合理說明當乘數是整十倍、整百倍…..等的乘法,

為什麼可以用直式表徵輕易算出。

 

接下來,就是要開始教乘數是二位數的乘法了。

 

這時,我便開始布文字題了(如下),並讓孩子要用已學會的數學知識來試著解題,

如果有人已在補習班學會馮老師還沒教過的直式表徵,

要用也可以,但之後要和大家說明清楚表徵中的數學理由。

1箱蘋果有8顆,26箱有幾顆蘋果?

 

結果,

沒人寫出一位數乘以二位數的直式表徵,

在行間巡視時,就發現有不少孩子為了避免直式表徵為自己招來老師的注意,

就直接寫成  8*26=208,

我立即請大家先停止解題,

問那些同學是如何心算出 8*26=208,如果不能說明就必須重新思考

此話一出,孩子們再度開始個別解題時,

那些寫8*26=208的孩子就紛紛放棄,再度開始思考該如何解題。

(這真是很煎熬的時刻,孩子們被老師打槍又腸枯思竭!)

 

結果出現了兩種解題策略:

1)  8+8+8+8+……..+8=208

2) 8*26=26*8=208 (使用乘法交換律)

 

我是這樣跟孩子們說的:

8+8+8+8+……..+8=208這個策略是可以解題的,

但如果題目變成 8*99,你們還會想這樣算嗎?

所以對於這題來說,這個策略是ok的,但無法有效處理所有的題目。

8*26=26*8=208 這個使用乘法交換律來解題的策略也是對的,

但如果題目改成 18*26,那使用乘法交換律好像也不行吧!

我現在用這麼簡單的數字來布題,

就是為了不讓數字干擾你們的思考,

所以請再挑戰自己,看看能不能挑戰成功?

(孩子似乎清楚了思考方向,重新又投入的個別解題中。)

 

最後,終於有數個孩子突破重圍,接力上台試著說明,解救了大家,

再加上我在白板右側為他們複習之前是如何學會乘法直式表徵,

大家終於更了解了一位數乘以二位數直式表徵的架構了,

也基於之前所確認的數學規律,

因此很快就理解了為什麼  8*20=160。

 

在下課前,我又投下了一顆"炸彈",

我說:

以後各位寫乘法直式表徵,乘以二位數時,我只接受如黑板上有兩層的直式表徵,

不會接受直接寫一層的直式表徵。

可是,老師又很奇怪,當各位乘以一位數的時候,我又可以接受僅有一層的直式表徵,

你們能找到其中的數學理由嗎?

下節社會課後,還有一堂數學課,到時我要問大家是否有發現直式表徵中的秘密

17810

 

在下一節的數學課中,

我主要是在引導孩子們發現乘法直式表徵的架構,

也就是乘數的位數決定直式表徵的樣貌

17815

17816

 

當孩子們理解後,我再問那如果以後我們要計算乘以三位數,

例如   36*125 請問直式表徵會有幾層,孩子們立刻回答"三層",

 

最後再處理一下,表徵中較細節的部份,讓孩子們理解這些表徵都是ok的。

17817

17818

 

到此終於水到渠成了!

從開始教四位數乘以一位數到今日,我已用了四節課,

教學速度好像烏龜在爬一樣,

但我有信心,接下來的不管被乘數和乘數是幾位數,

這些孩子都可以在之後的布題中,

有自信地寫出乘法直式表徵並能清楚說出其中的數學理由了,

教學進度終於可以不用再烏龜爬,而能勇往直"飛"了!

 

 

 

 

 

發表於 四年級, 教學技巧, 計算 | 發表迴響

2018.09.06三年級~角度(認識量角器與測量角度)

有關「認識量角器」的相關教學,

請參考p.30~p.49的教學

http://www.km.edu.tw/uploads/news/Nei_Ye_1-72You_Qie_0115Xiu_Zheng_.pdf

 

孩子們在這個單元最大的迷思,就是對「角的定義」了解不夠,

因此在測量角度時,容易陷入以下的迷思:

  1. 忽略量角器上的「中心點與角的頂點」及「角的邊與量角器上畫線」之間的關係,因此在測量時,只要角的開口朝向不同方向,就會常常量錯。
  2. 沒感受到1度角是多麼的小,因此測量時不懂要十分小心。
  3. 不了解「角上兩邊所夾的範圍」為角度的意思,使得孩子很難去理解平角及大於平角的角。

 

課本上會很清楚的交代如何畫角(康軒四上)

2018-09-06_103936

但是,建議讓孩子們將課本關上,自己先思考要如何畫出一個65度的角。

大家可能會發現,不少孩子都會直觀的認為要先拿出量角器,

然後在0度和65度的地方各做一個記號,

再將量角器拿開,以那兩個記號點各畫出一條邊並讓這兩條邊相交,

就完成65度角的繪製了。

 

孩子便宜行事型的思維,很不可思議吧!

因為量角器的中心點(也就是角的頂點)是在量角器內,

所以孩子是用目視量角器中心點的位置,然後抓個大概的位置作為角的頂點,

就完成角的繪製了!

如果能先打破這個迷思後,再學習正確的畫角步驟,

接著再試著畫出開口方向不同的角,

相信孩子們對角的認識就更足以支撐後面認識"旋轉角"的概念了!

 

發表於 四年級, 教學現場, 量與實測 | 發表迴響

2018.09.05五年級~列式與解題(未知數符號)

前幾日在Line上看到朋友傳來的益智遊戲,如下:

S__37224527

 

群組中的大家都開始送出答案,

答案從有19、7、9、17、10、7、9等都出現了,

正確答案應該是9,因為圖片是有陷阱的,

S__37224527

2018-09-05_111438

InkedS__37224527_LI

這個益智遊戲不禁讓我想到,

可以讓五年級孩子學完"列式與解題"單元後,

來做個腦筋急轉彎活動,

如果題目能在最後一個算式中的無小熊駕駛巴士,

改成有小熊駕駛的巴士就更好了,

InkedS__37224527

因為還可以順便檢測孩子們是否有注意到要先乘除後加減,

哈哈!我還真"邪惡"呢!

 

發表於 五年級, 代數, 教學現場 | 發表迴響

2018.06.06三年級~乘法與除法 4 (驗算~多元思考的表現)

已經到了本學習單元的尾聲了!

在孩子們都已經有乘除互逆的概念後,

要引導他們理解如何驗算除法答案,

是一件順水推舟就可以完成的學習。

 

因此,

第一步是先要經驗如何驗算整除的答案,

而孩子們利用乘除互逆的概念,很快就理解完成了。

 

接下來,就是要驗算有餘數的除法答案。

2018-06-06_102254

 

在孩子們算出答案,且全班確認無誤後,

才要求他們來思考看看,有餘數的除法計算要如何驗算呢?

 

下面是他們的驗算策略:(全班29人)

策略1: (有27人採此策略)

P_20180606_093528_vHDR_Auto

 

 

策略2: (有1人採此策略)

P_20180606_093808_vHDR_Auto

 

策略3: (有1人採此策略)

P_20180606_093501_vHDR_Auto

 

在討論的過程中,策略1和策略2都很快被理解,

策略1是以被除數為驗算基準,而策略2是以餘數為驗算基準,

都是很好的策略。

 

但討論到策略3時,大家就意見不一了,

即使經過小組討論,依然呈現五五波,

後來在全班討論時,支持方與反對方交互 Q&A後,

大家才理解此策略是先將餘數扣除後,

若除數與乘數相乘的結果是相同的,

則計算正確,

也就是把這題想成是整除來驗算。

 

表面上,

這堂課我們是在對驗算的策略進行驗證,

但骨子裡,

我很清楚,他們的除法概念奠基的十分穩固,

所以,才能從算式中看出端倪,

心中真是忍不住要為他們鼓掌。

 

當老師願意去理解每一個孩子的想法時,

我們就會發現,

那些"原始"性的想法是多麼珍貴且令人驚豔!

 

而當孩子們發現他們想的和課本不一樣,

卻能獲得老師的理解和同儕的認同,

試想,他們很難有機會厭惡數學吧!

 

 

發表於 三年級, 代數, 教學現場 | 發表迴響

2018.06.01三年級~乘法與除法 3 ( 孩子真的學會了嗎? )

乘除互逆和等量公理都是解代數問題的重要數學概念。

 

在三年級的階段,

主要就是要讓孩子學習將題意傳換成算式填充題後,

再利用乘除互逆的概念去解出(     )所代表的數值。

 

下面哪一個孩子的解說,才是本單元期待的學習表現呢?

2018-06-01_114054

 

A生說:

因為題目要算緞帶被平分成幾段,

而我知道每一段長8公分,

所以我將全長160公分除以每一段的長度,就會知道分成幾段,

算式填充題寫成   160 ÷ (       ) =8,

再利用乘除互逆的概念   160 ÷ 8 = 20 ,算出(      )是20,也就是20段。

 

B生說:

因為題目要算緞帶被平分成幾段,

而我知道每一段長8公分,

算式填充題寫成   160 ÷ (       ) =8。

依照題意將全長除以每一段的長度,就會知道分成幾段,

所以我將160 ÷ 8 = 20 ,算出被平分成20段。

 

有發現什麼嗎?

 

A生是將題意翻譯成 160 ÷ (       ) =8,然後為了求出(    ),而用乘除互逆 算出160 ÷ 8 = 20  。

B生是將題意翻譯成 160 ÷ (       ) =8後,再回到題意去理解解法後,用 160 ÷ 8 = 20,求出答案。

 

這就是在教三年級乘除互逆時,最麻煩的地方,

因為在這個單元的題意都不困難,

也就是說,

學生並沒有產生使用算式填充題的需求感,

其實大部分的孩子都能直接看題目就能排出算式算出答案(像B生),

根本不需要算式填充題的幫助。

 

但我們又需要利用簡單的題意讓孩子們經驗並理解算式填充題是如何和題意環環相扣,

因此,利用討論式教學,就能聆聽到孩子們的說明,

確認他們能理解A生的思考邏輯,

並懂得靈活運用乘除互逆的概念,

這樣才算達成教學目標。

 

課本為了能讓孩子經驗到算式填充題的每一種面貌,

所以往往會在布題後,

加註 “用有(    )的除法算式記問題 " 或 " 用有(    )的乘法算式記問題  “,

這也無可厚非,目的是要為了要讓孩子們對算式填充題有完整的經驗。

 

因此,評量孩子們對於算式填充題的理解與運用,可粗分成三個階段:

 

1. 在題目有關算式填充題方面,明示利用乘法或除法的引導之下,

並利用乘除互逆的概念解出答案。(如下)

2018-06-01_114054

 

2. 在題目有關算式填充題方面,缺乏明示利用乘法或除法,

而能將題意正確轉譯成算式填充題,並利用乘除互逆的概念解出答案。(如下)

2018-05-30_095616

 

解題策略1:    180 ÷ (      ) = 6

解題策略2:   180÷ 6 = (        )

解題策略3:    (       ) * 6 = 180

 

3. 在解題時,對題意理解出現困難時,

能主動利用算式填充題來正確轉譯題意後,順利解題。

而到了此階段,

才是真的能評量出,

孩子們是否真的有學會這個數學工具,並內化為已有。

 

數學學習要在乎"根本解",而非"表象解"。

孩子們自行依據先備知識,推理思考,運用方法來解出答案;

解出答案固然重要,

但如何解出答案,孩子們的內心思考活動的歷程是比答案更為重要的,

因為這樣才能養成解決問題的能力,

並將此態度及能力遷移至其他學習領域或生活中,不是嗎?

 

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2018.05.30三年級~乘法與除法 2 (算式填充題和乘除互逆)

今天上課開始讓孩子們經驗被除數(除數)未知的除法問題,

課本布題如下: (康軒三下)

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上課時我的布題修正如下:

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首先,先和孩子們討論這題的題意可以用除法或乘法來記錄算式填充題,

而孩子們都決定想用除法來記錄。

 

(事實上,用乘法 (     ) × 6 = 180 也是可以的,

如果上課時出現有孩子發表想法是用乘法,

我也會接受,不過為了使學習聚焦,

我會先肯定孩子的想法,

但會對他們說,有關乘法的記錄算式我們之後再討論,

現在我們先一起學習用除法來試著記錄看看。)

 

接著,就要孩子們根據題意,寫出除法的算式填充題即可,

不需計算出答案。

並且告知,如果認為記錄方式不只一種,就將符合題意的除法記錄全寫出來。

(這樣的布題,可以讓孩子們聚焦在算式意義,好好審題。)

然後,讓孩子們以小組討論的方式,回到題意說明算式意義,但不用送出共識。

 

在行間巡視小組討論時,發現有些孩子不如預想的那般理解自己記錄出的算式意義,

因此決定暫不進入全班討論,而改以再進行一次小組討論的方式。

 

我先將全班個別解題時,有出現過的算式填充題寫在白板上並編號,

然後重新給予小組討論的指導語,

要求孩子們依照小組編號和白板上的題號,

編號1就負責說明題號1的算式,依序進行,

這回各小組對每個算式的想法是都要努力達成共識,

若時間到了仍無法達成共識則沒關係。

 

(1) 180 ÷ (      ) = 6

(2) 180 ÷ 6 = (       )

(3) (      ) ÷ 6 = 180

(4) (       ) ÷ 180 = 6

 

小組討論結束後,

開始詢問各小組的共識(全班共七組),

結果

(1) 180 ÷ (      ) = 6                此算式有一組認為是錯的,但卻是正確的。

(2) 180 ÷ 6 = (       )               此算式有一組認為是錯的,但卻是正確的。

(3) (      ) ÷ 6 = 180                  此算式有六組認為是錯的,事實上的確是錯的。

(4) (       ) ÷ 180 = 6                 此算式全班都認為是錯的,全班判斷正確。

因此全班討論決定從第(4)題開始,因為全班都認為是錯的,

然後依序討論(3) – (1) – (2) 算式。

 

討論方式就是請被抽到的孩子上台,

回到題意去說明算式紀錄的意義。

在討論中,隨時註記算式中數字所代表的意義,

並和舊經驗中的除法意義相連結 (請見   http://163.19.142.4/wordpress/?p=2408  ),

最後利用乘除互逆的概念,解出答案來。

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經過一整節課對題意及算式填充題表徵抽絲剝繭後,

孩子們更理解自己算式所想表達的數學意義,

相信對之後的被乘數(乘數)未知的學習會有很大助益的。

 

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2018.05.23三年級~乘法與除法 1 (教材安排以乘除互逆為例 )

“乘除互逆"在國小階段是進入高年級後,解題時很常會使用到的數學概念。

 

以康軒三下"乘法與除法"單元為例,

課本的教材安排如下:

1. 先從發現乘與除的關係,去認識"乘除互逆"的概念。

p1

 

 2. 利用乘除互逆,進行無餘數與有餘數的驗算。

p2

 

 3. 學習解決被除數未知無餘數的除法。                   4.   學習解決被除數未知有餘數的除法。

p3

 

5. 學習解決除數未知的除法問題。                                6. 學習解決被乘數未知的除法問題。

p4

 

7. 學習解決乘數未知的除法問題。

p5

 

一定要按這樣的順序來教學嗎?

 

個人認為這個單元的主要學習目標

是要先讓孩子們在具體情境中察覺到乘除互逆的存在,

並會使用算式填充題去記錄題意(這是日後代數概念的基礎)後,

並懂得利用乘除互逆來解出答案

 

所以,我的教材安排如下:

1. 複習除法是如何使用乘法估商的概念,去進行無餘數與有餘數的驗算學習,

在進行驗算時,則不須考慮文字情境,可直接以裸題的概念來驗算。

將驗算學習脫離乘除互逆的目的,

是為了避免孩子們在經驗乘除互逆後,

驗算時會落入想要思考文字情境的迷思中,

也就是去考量被乘數與乘數的關係。

p2

 

 

2. 布"24個小兵"這題,藉由情境去察覺乘除互逆的存在

並理解其合理性。

詳細教學過程請見 http://163.19.142.4/wordpress/?p=965

pA2

3. 刪除布草莓布題,這兩題的差異就是在情境上。

pA3

小兵題 可以在情境中合理說明

24 ÷ 6 = 4

24  ÷  4 = 6

4 × 6 = 24

6  × 4 = 24

而草莓題卻不能在情境中合理說明 3 × 7 = 21 的意義,

因此,為了不混淆概念,決定刪除此題。

在裸題的狀況下,這四種關係是必然存在的,

而孩子們接下來的學習都是先從文字布題來學習記錄算是填充題後解題,

最後待所以文字布題經驗過後,才開始用裸題推算出答案,如下:

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4. 學習解決被除數未知無餘數的除法。 

從這裡開始,是讓孩子們練習算式填充題的重要階段,

也就是代數學習的重要部分。

因此,我們通常會引導孩子們將題目改成

 

老師原有(      )張色紙,平分給6個小朋友,

每人分到25張,剛好分完。

老師原有多少張色紙?

 

以協助孩子逐步理解到題目中所說的"老師有一些色紙"的意義。

pA4

 

 

5. 學習解決除數未知的除法問題。                                6. 學習解決被乘數未知的除法問題。

p4

 

7. 學習解決乘數未知的除法問題。

p5

 

 8.   學習解決被除數未知有餘數的除法。

會將這個部分從前面抽出放在最後才進行教學,

是因為在前面的學習中,

孩子們已在文字情境中充分經驗並理解到乘除互逆的概念,

這樣在解決有餘數的問題時,

推理思考上就會單純許多,

也會更容易理解解題方法。

pA7

 

 

其實,教材的安排並無一定的SOP,

以前面所述的教材安排順序,

也可以將驗算學習的部分,直接移到教學順序的倒數第二,

因為在前面的學習過程中,孩子們已經有了乘除互逆的概念,

所以屆時要理解驗算方法會很容易,

然後再學習"解決被除數未知有餘數的除法"。

 

重點是老師在理解孩子們的舊經驗及教材特性後,

需要思考如何能更順水推舟即可。

所以,不同班級、不同老師的教材安排會不同是很正常的事,

只要能順利達到教學目標就行了! :)

 

 

 

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2018.05.11 量感在孩子們的心中有份量嗎?

量感與數感是國小數學學習的核心,

在國小階段能建立的量感,主要有長度、重量、容量、面積、體積。

 

以長遠來看,這些量感的建立,

絕對有助於孩子處理現在或未來生活中與量有關的生活情況,

讓他們能做出正確的判斷。

如果覺得這種說法太理想化,那麼至少,

孩子們在計算出答案時,有量感的孩子就更能判斷出題目或答案的合理性,

發現其中的問題,不是嗎?

 

但可能是因為要靠算式來呈現數學思考的歷程,

以及現今以筆試為檢視數學能力為主流,

因此國小學童往往是數感優於量感,

有時候更誇張一點,有些孩子是用數感來當量感用,或根本是無感!!!

 

要避免這個狀況發生,

就是要請老師們在教有關"量與實測"的單元時,

請給予孩子們足夠的時間去操作、體驗

足夠的機會去經驗估測、實測的歷程

去連結生活中的事物來建立生活化的測量工具

使估測結果能有依據的接近實測結果

培養出優良的量感

 

在國小課本上會以培養量感為教學目標的部分,

通常會以類似下面的情況呈現在課本上。

 

2018-05-09_130757

(康軒三上)

 

也許是因為實測才是真正的答案,所以我們在教學時很容易忽略估測的重要性,

而事實上,要為孩子們建立生活中的量感

孩子們就必須要能有依據的進行合理的估測

畢竟真實生活中,不會有人整天帶著測量工具在身上吧?

 

沒有測量工具的輔助,要有依據的進行估測,

那麼這個估測的依據要從何處得來呢?

答案就是從熟悉的周遭事物上,找到合適估測的依據

 

舉例來說,小學生入學後,第一個開始建立的量感就是"長度"。

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(康軒二下)

而在1公尺左右最佳的生活量尺,就是自己的身體(如上)。

所以當孩子用了身體量尺來估測之後,

務必要讓孩子們說明,他是如何估測出這個答案的,

這樣的教學步驟,會讓孩子們學習到如何應用身體量尺來有效估測,

且會經驗並發展出讓估測值接近實測值的策略。

 

那到100公尺、1公里的生活量尺又在哪裡呢?

國小兒童賽跑比賽主要為60公尺和100公尺,因此學校的跑道長度就是最好的生活量尺。

那1公里又要如何處理呢?

以本校為例,操場跑道1圈為200公尺,

當我們學到1公里=1000公尺時,

孩子們很快就能理解那要跑操場5圈才算1公里,感受到那真的是不算短的距離啊!

若要建立垂直高度的量感,

我通常是用孩子們的身高或一層樓高3公尺(估算成整數是方便孩子計算)

來讓孩子建立量感。

 

至於重量、容量、面積、體積的量感建立,

原則上都會發生在認識新單位的單元。

如果課本上沒有為這個新單位安排有關培養量感的活動,

那老師們就可以自行設計簡單活動,

讓孩子們有機會感受到"量"的存在,

培養出"實用的"量感!

 

 

http://163.19.142.4/wordpress/?p=156 (四年級 面積與周長)

http://163.19.142.4/wordpress/?p=133 (三年級 面積與周長)

http://163.19.142.4/wordpress/?p=144 (三年級 容量)

 

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